Projektion, ker(f) und im(f)
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19.06.2016, 00:21 jummie Auf diesen Beitrag antworten »
Projektion, ker(f) und im(f)
Meine Frage:

Hallo,

ich habe folgende Matrix gegeben:
1 0 0
A = ( 0 0,5 0,5 )
0 0,5 0,5
und die lineare Abbildung f: R^3 --> R^3 mit x |--> Ax.

a) Zeigen Sie, dass f eine Projektion ist.
b) Bestimmen Sie ker(f) und im(f).
c) Interpretieren Sie Kern, Bild und die Abbildung von f geometrisch.

Meine Ideen:
Meine Ansätze:
a) Ich muss zeigen, dass f o f = f oder? Benutze ich hierfür die Matrix?

b) Wenn ich ker(f) bestimmen soll, ist das dann das gleiche wie Ax = 0 mit der o. g. Matrix A?


Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.
19.06.2016, 00:53 magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektion, ker(f) und im(f)
Zitat:
Original von jummie
a) Ich muss zeigen, dass f o f = f oder? Benutze ich hierfür die Matrix?

Natürlich musst du dazu die Matrix benutzen, wie willst du das sonst anstellen? verwirrt
f o f = f zeigt man am besten punktweise, also (f o f)(x) = f(x) für jedes x. Beachte dabei die Definition von 'o' und von f. Dann sollte klar sein, was hier wirklich zu tun ist.
Zitat:
Original von jummie
b) Wenn ich ker(f) bestimmen soll, ist das dann das gleiche wie Ax = 0 mit der o. g. Matrix A?

Genau so ist es.
19.06.2016, 11:42 jummie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektion, ker(f) und im(f)
a) Wie berechne ich denn fof bzw. f(f(x)) mit einer Matrix?

b) Aus Ax = 0 ergibt sich x1 = 0, x2 = -x3, also x = (0, x3, -x3)^T
Ist das richtig?
Für das Bild ergibt sich: Ax = b --> x = (b, 2b-x3, x3)^T???
19.06.2016, 12:16 jummie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektion, ker(f) und im(f)
a) Ist die Projektion diese, die ich durch Multiplikation der A-Matrix mit sich selbst erhalte, also A*A?
19.06.2016, 17:43 magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektion, ker(f) und im(f)
Zitat:
Original von jummie
a) Wie berechne ich denn fof bzw. f(f(x)) mit einer Matrix?

So wie das immer funktioniert: Einfach einsetzen. Hier musst du zusätzlich natürlich ggf. das Rechnen mit Matrizen beachten.
Es ist also fof(x) = f(f(x)) = f(Ax) = ...
Zitat:
Original von jummie
b) Aus Ax = 0 ergibt sich x1 = 0, x2 = -x3, also x = (0, x3, -x3)^T
Ist das richtig?

Was ist x3? Was ist jetzt der Kern? So ist das zu ungenau...
Zitat:
Original von jummie
Für das Bild ergibt sich: Ax = b --> x = (b, 2b-x3, x3)^T???

Hier ist irgendetwas völlig schiefgegangen, denn wenn du Ax=b schreibst, muss b ein Vektor sein.

Zitat:
Original von jummie
a) Ist die Projektion diese, die ich durch Multiplikation der A-Matrix mit sich selbst erhalte, also A*A?

So ganz falsch ist die Richtung nicht. Die Ausdrucksweise passt aber nicht, die Projektion ist die Abbildung f und nicht eine Matrix.
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