Ellipsoid Ebene Berührpunkt

20.06.2016, 20:26	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipsoid Ebene Berührpunkt Meine Frage: Gegeben sei das Ellipsoid $\begin{eqnarray} \left\{Q=(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{9}+\frac{x_2^2}{4}+\frac{x_3^2}{9}-11=0\right\} \end{eqnarray}$ Bestimme die Hessesche Normalform derjenigen Ebene E, die Q im Punkt $\begin{eqnarray} (3,6,3) \end{eqnarray}$ berührt. Meine Ideen: Für die HNF braucht man ja einen Normalenvektor. Da ist mir in den Sinn gekommen, dass der Gradient immer senkrecht auf der Niveaulinie steht. Wenn ich also die Gleichung Q partiell nach x, y und z ableite und dann den Punkt einsetze müsste ich doch einen solchen Normalenvektor bekommen. Ist diese Herangehensweise möglich?
21.06.2016, 20:20	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipsoid Ebene Berührpunkt Also das wäre dann: $\begin{eqnarray} \frac{\partial Q}{\partial x_1}=\frac{2}{9}x_1<br /> \frac{\partial Q}{\partial x_2}=\frac{1}{2}x_2<br /> \frac{\partial Q}{\partial x_3}=\frac{2}{9}x_3 \end{eqnarray}$ Für (3,6,3) ergibt das dann: $\begin{eqnarray} (\frac{2}{3},3,\frac{2}{3})^T \end{eqnarray}$ Das ist auch mein Normalenvektor. Und die HNF ist dann: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3}^2+3²+\frac{2}{3}²}} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 3 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \cdot (\vec{x}-\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix})=0<br /> \Rightarrow \frac{3}{\sqrt{89}} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 3 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \cdot (\vec{x}-\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix})=0 \end{eqnarray}$ Ist das korrekt?
23.06.2016, 14:56	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipsoid Ebene Berührpunkt Guten Tag, ja. Mit Deinen Ergebnissen ergibt sich folgendes Bild: [attach]42164[/attach] Der kleine gelbe Punkt in der Tangentialebene ist der Punkt P(3, 6, 3). Dass das Ellipsoid angeschnitten wurde, liegt an meiner Wahl der Achsen und dass die Figuren innerhalb eines Kastens gezeichnet werden.

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