Nullstellenproblem in Fixpunktproblem umschreiben

20.06.2016, 21:45

balance

Nullstellenproblem in Fixpunktproblem umschreiben

Hallo,

Ich beschäftige mich gerade mit der numerischen Nullstellensuchen. Also der suche nach einem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Nun sagt mein Skript:

Wir schreiben die Nullstellensuchen $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ in eine Fixpunktproblem $\begin{eqnarray*} \phi(x)=x \end{eqnarray*}$ um. Die Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ liefert nun die Iterationsvorschrift! Ein 1-Punkt-Verfahren benötigt dabei nur den vorhergegangenen Schritt: $\begin{eqnarray*} x^{k+1}=\phi(x^k) \end{eqnarray*}$

Nun frage ich mich, wie ich den sowas machen.

Beispiel:
Sei $\begin{eqnarray*} F(x)=xe^x-1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ . dann betrachten wir die folgenden iterativen verfahren:

1. $\begin{eqnarray*} \phi_1(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \phi_2(x)=\frac{1+x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \phi_3(x)=x+1-xe^x \end{eqnarray*}$

Nun frage ich mich, wie die den auf 1. 2. und 3. kamen. Wie kann ich für obiges Problem selber ein geeignetes Fixpunktproblem finden?

Weiter: Wie überprüfe ich nun genau, dass 1, 2 und 3 die obige gleichung erfüllen? [Es sollte doch gelten: $\begin{eqnarray*} F(\phi_i(x))=0 \end{eqnarray*}$ nicht?]

Merci

21.06.2016, 12:45

HAL 9000

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RE: Nullstellenproblem in Fixpunktproblem umschreiben

Zitat:

Original von balance
Wie überprüfe ich nun genau, dass 1, 2 und 3 die obige gleichung erfüllen?

Setze in die Gleichung $\begin{align*} \phi_i(x)=x \end{align*}$ die jeweilige $\begin{align*} \phi_i \end{align*}$ -Darstellung ein um forme das äquivalent um, bis du zu deiner Ausgangsgleichung kommst.

Zitat:

Original von balance
Wir schreiben die Nullstellensuchen $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ in eine Fixpunktproblem $\begin{eqnarray*} \phi(x)=x \end{eqnarray*}$ um.

Forme diese Gleichung äquivalent um, so dass auf einer Seite nur noch ein $\begin{align*} x \end{align*}$ steht. Wie du das tust, bleibt deiner Kreativität überlassen - in der Regel gibt es dafür mehrere Möglichkeiten (was diese Aufgabe hier ja anschaulich demonstriert), es gibt da kein Schema F.

21.06.2016, 14:41

balance

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RE: Nullstellenproblem in Fixpunktproblem umschreiben

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von balance
Wie überprüfe ich nun genau, dass 1, 2 und 3 die obige gleichung erfüllen?

Okay, nach dem Zitat unten macht das auch völlig Sinn.

Zitat:

Original von balance
Wir schreiben die Nullstellensuchen $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ in eine Fixpunktproblem $\begin{eqnarray*} \phi(x)=x \end{eqnarray*}$ um.

Okay, das macht Sinn - dank dir.

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