Diagonalisierbarkeit von Matrizen

21.06.2016, 11:55	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit von Matrizen Meine Frage: Liebe Communtiy, wir haben nun das Thema Eigenwerte und ich bin mir nicht so sicher, ob ich folgende Aufgabe richtig mache. Folgende Matrizen soll ich auf Diagonalisierbarkeit prüfen: 1) $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} C= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich bin mir nun nicht sicher, ob ich das richtig mache, da ich zwischen diesen Matrizen keine große Unterschiede bemerke. Meine Ideen: Nach VL ist eine Matrix genau dann diagonalisierbar, wenn i) das charakt. Poly. vollständig in Linearkombinationen zerfällt (das heißt hier wegen 2x2 ja dann, dass sie 2 Eigenwerte hat?) und ii) Wenn die Eigenwerte mit algebr. und geometr. Vielfachheiten gleich sind. Meine bisherigen Lösungen: zu 1) Das charakt. Polyn. zerfällt vollständig in $\begin{eqnarray} \lambda1 = 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda2 = 4 \end{eqnarray}$ Eigenvektoren sind $\begin{eqnarray} v1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}k \end{eqnarray}$ zu 2) Das charakt. Polyn. zerfällt vollständig in $\begin{eqnarray} \lambda1 = 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda2 = 3 \end{eqnarray}$ Hier bekomme ich Probleme bei den Eigenvektoren. Ich käme auf $\begin{eqnarray} v1=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}k \end{eqnarray}$ zu 3) Das charakt. Polyn. zerfällt vollständig in $\begin{eqnarray} \lambda1 = 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda2 = 3 \end{eqnarray}$ Hier bekomme ich wie in 2) schon Probleme bei den Eigenvektoren. Ich käme ebenfalls auf $\begin{eqnarray} v1=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}k \end{eqnarray}$ Kann mir jemand helfen, wie ich hier die Eigenvektoren bilden soll? Oder sind diese einfach nicht diagonalisierbar?
21.06.2016, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Polynom zerfällt $\begin{eqnarray} x^2+px+q=(x-\lambda_1)(x-\lambda_1) \end{eqnarray}$ zerfällt in Linearfaktoren (nicht in Linearkombinationen) genau dann wenn es die beiden Nullstellen $\begin{eqnarray} \lambda_1,\lambda_2 \end{eqnarray}$ hat (die eventuell auch gleich sein dürfen) 1) ist richtig bei 2) und 3) hast du den Kern von $\begin{eqnarray} B-3\cdot I \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} C-3\cdot I \end{eqnarray}$ falsch berechnet. Übrigens ist ein Eigenvektor immer von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ verschieden
21.06.2016, 15:10	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schon einmal. Irgendwie habe ich bei der 2x2 Matrix meine Probleme. Können wir beispielsweise mal die Matrix B (zu 2)) durchgehen? Hier habe ich das charakt. Polynom $\begin{eqnarray} \lambda^2 -6\lambda+9 \end{eqnarray}$ raus. Folglich bekomme ich mit der pq-Formel (oder sehe natürlich anhand von $\begin{eqnarray} (3-\lambda)(3-\lambda) \end{eqnarray}$ ) den doppelten Eigenwert 3 raus. Wenn ich nun den Eigenvektor suche, dann setze ich meinen gefunden Eigenwert 3 in $\begin{eqnarray} (A-\lambdaE)v=0 \end{eqnarray}$ ein. Jetzt erhalte ich natürlich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3-3 & 0 \\ 0 & 3-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ganze habe ich mal berechnen lassen und komme auf die Eigenvektoren: [ 1 ; 0 ] und [ 0 ; 1 ] Kannst du mir das erklären wie man jetzt darauf gekommen ist?
21.06.2016, 16:35	Alina H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs glaube ich jetzt verstanden. Man kann diese beliebig wählen.. daher das Ergebnis. Jetzt muss ich nur noch bestimmen, ob die Algebr. und geometr. Vielfachheit gleich ist. Bei Aufgabe b) (Matrix B) habe ich nun für lamda1 und lamda2 jeweils die Dimension =2 raus. Ebenfalls ist die Algebr. Vielfachheit dieser beiden Eigenwerte 2 und somit hätte ich gezeigt, dass die Matrix diagonalisierbar ist. Bei Aufgabe c) (Matrix C) habe ich allerdings für beide Eigenwerte die geom. Vielfachheit (Dimension) =1. Die Algebr. Vielfachheit ist allerdings 2 für beide Eigenwerte. Somit wäre diese Matrix nicht diagonalisierbar. Würde mich sehr um eine kurze Bestätigung bzw. wenn falsch Verbesserung freuen!
21.06.2016, 18:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
alles komplett richtig (3-x)²=x²-6x+9 kann man berechnen, soll man aber nicht, denn gerade die beiden Linearfaktoren 3-x sind ja gerade das, was man zur Eigenwertbestimmung braucht.

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