Hyperebene und Stützfunktion

21.06.2016, 16:06

Hyperebene

Hyperebene und Stützfunktion

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein paar Verständnisschwierigkeiten mit Begriffen und wäre über eine kurze Aufklärung sehr dankbar.

Meine Ideen:
Eine Hyperebene kann man ja darstellen als: $\begin{eqnarray*} H_{u,a} := \{x \in \mathbb{R}^n: <x,u>=a\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} u \in \mathbb{R}^n, a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Wie kann man sich das vorstellen? Die Hyperebene besteht offensichtlich aus Punkten (x). Diese sind abhängig davon, wie ich vorher(?) einen u-Vektor und ein a auswähle.

Ich habe ein Bild angehängt (an dieser Stelle bitte die konvexe Hülle ignorieren). Der Ursprung soll der Punkt sein, in dem die schwarzen Vektorpfeile starten. Wenn ich als "u-Vektor" den blauen Vektor vorgebe und als "a" die Zahl "0", dann müsste ich doch theoretisch die gelbe Gerade erhalten? Aber das Vektorprodukt mit "blauem Vektor" und "schwarzen Vektoren" ist immer unterschiedlich.

Andere Frage:
Die Hyperebene $\begin{eqnarray*} H := \{x \in \mathbb{R}^n : <v,x> = <v,r>\}$ mit Normalenvektor [l] v \in \mathbb{R}^n \ \{0\} \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine Stützhyperebene von S durch den Stützpunkt r, wenn entweder $\begin{eqnarray*} <v,s> \ge <v,r> \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} <v,s> \leq <v,r> \end{eqnarray*}$ für alle Punkte s aus S.
Mein S sei nun die blaue Figur, meine Stützpunkte gegeben durch die Randpunkte, die auf der gelben Geraden liegen. Der normalenvektor "v" sei der blaue Vektor.

Das trifft ja dann auf meine Skizze auch nicht zu?

21.06.2016, 16:10

Hyperebene

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Verzeihung, die zweite Formel ist nicht korrekt:

$\begin{eqnarray*} H = \{x \in \mathbb{R}^n : <v,x> = <v,r> \} \end{eqnarray*}$ .

Und was ich noch vergessen hatte, ist, wie die Stützfunktion hier zu verstehen ist: $\begin{eqnarray*} h_P(u) := max\{<x,u>: x \in P\} \end{eqnarray*}$ , sodass man eine Stütz-Hyperebene auch so darstellen kann: $\begin{eqnarray*} H_P(u) := \{ x \in \mathbb{R}^n: <x,u> = h_p(u) \} \end{eqnarray*}$ ?

21.06.2016, 16:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hyperebene
Der Ursprung soll der Punkt sein, in dem die schwarzen Vektorpfeile starten. Wenn ich als "u-Vektor" den blauen Vektor vorgebe und als "a" die Zahl "0", dann müsste ich doch theoretisch die gelbe Gerade erhalten?

Wenn du $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ wählst, geht die gelbe Gerade durch den Ursprung. Das ist in deiner Skizze nicht der Fall, also ist dort $\begin{align*} a\neq 0 \end{align*}$

Zitat:

Original von Hyperebene
Aber das Vektorprodukt mit "blauem Vektor" und "schwarzen Vektoren" ist immer unterschiedlich.

Mag sein, aber $\begin{align*} \langle x,u\rangle \end{align*}$ ist ja auch eher das Skalarprodukt.

21.06.2016, 16:49

Hyperebene

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Wenn ich a=0 wähle, wäre dann die entstehende korrekte Gerade einfach eine Parallelverschiebung meiner gelben Gerade durch den Ursprung?

Zum anderen: Da habe ich mich verschrieben und meinte natürlich: Skalarprodukt!

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