Ganzer Abschluss kann Singularitäten auflösen

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzer Abschluss kann Singularitäten auflösen
Hallo allerseits,
es geht nun um den ganzen Abschluss. Meine Aufgabe liegt im Anhang und ich würde sie gerne lösen. Aber bislang konnte ich noch keine Herangehensweise entwickeln.

Könnte mir jemand Tipps für eine solche Aufgabe (oder speziell für diese) geben? Ich bin sehr an den Hintergründen interessiert.

Viele Grüße und vielen Dank
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
da ich noch nicht so firm bin mit Adjunktionen zu rechnen, habe ich hier eine erste unüberprüfte Theorie:

Da lässt sich auch annehmen.

Nach der Def. einer Adjunktion (insofern ich sie korrekt verstanden habe):
.
Da Linearkombination von und ist, lässt sich weiter vereinfachen:


Ist das korrekt?

Vielen Dank für die Mühe smile (Ich bin für jede Antwort immer sehr dankbar..)
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was du im zweiten Post machst ist sehr seltsam.
Zitat:
Da Linearkombination von und ist,

Äh, nein. Es ist ein Produkt, keine Linearkombination der beiden.

Und deine Rechnung kann nicht korrekt sein:.

ist eine Erweiterung von, R ein Quotient davon.
Die können nicht gleich oder isomorph sein

Die nächste Frage ist was diese Rechnung überhaupt mit der Aufgabe zu tun hat.
Du sollst den ganzen Abschluss bestimmen, bzw. zeigen dass der hingeschriebene Ring der ganze Abschluss ist.
Was soll da das rummanipulieren am Grundring bringen?

Bei der a) würd ich zeigen, dass t ganz ist und R[t] ganz abgeschlossen.
Wie man die a) zeigt hängt davon ab was ihr schon habt:
Reguläre Ringe, diskrete Bewertungsringe, normale Ringe?
Man kanns natürlich auch komplett zu Fuß machen.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Rückmeldung. Ich habe jetzt mal deinen Tipp aufgegriffen und gezeigt, dass t ganz in R ist:

Es wird identifiziert:
da ganz über R, ist auch ganz über R.

Nun bleibt zu zeigen, dass für die Erweiterungen gilt, dass der ganze Abschluss ist. Dabei habe ich darüber nachgedacht zu zeigen, dass kein Element in

Im Skript Gathmann, commutative Algebra auf der Seite 80 ff. steht in 9.12 diese Aufgabe. D.h. die Theorie aus 9 vorher darf verwendet werden.

In diesem Zuge wurde auf ein normaler Ring definiert, d.h. in 9.9 b.
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