Lebesgue-Integrierbarkeit zeigen & Lebesgue-Integral berechnen

22.06.2016, 12:07

hallstrom

Lebesgue-Integrierbarkeit zeigen & Lebesgue-Integral berechnen

Meine Frage:
Überprüfen Sie jeweils, ob die Funktion Lebesgue-integrierbar
ist und berechnen Sie gegebenenfalls das Integral. Bestimmen Sie zusätzlich die Integrale
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! ( \int_{}^{} \! f(x,y) \, dy ) \, dx, \int_{}^{} \! ( \int_{}^{} \! f(x,y) \, dx ) \, dy \end{eqnarray*}$ .

a) $\begin{eqnarray*} f(x,y)=sin(x)1_{[0,\pi]}(x)cos(y)1_{[0,\pi]}(y) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(x,y)=1_{V\times[0,1]}(x,y)-1_{(V^{c}\cap[0,1])\times[0,1]}(x,y) \end{eqnarray*}$ , wobei V eine beliebige (nicht zwingend messbare) Teilmenge von [0,1] ist.

c) $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{1}{y^{2}}, & & 0<x<y\leq1 \\ -\frac{1}{x^{2}}, & & 0<y<x\leq1 \\ 0, & & sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also fangen wir mal mit der a) an.
Ich weiß dass für nichtnegative Funktionen gilt, dass sie über demselben Gebiet (uneigentlich) Riemann-integrierbar ist.
Damit haben wir eigentlich immer zuletzt gearbeitet, aber das ist ja nun nicht mehr der Fall.
Jetzt weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll.
Was ich noch gelesen habe ist, dass der Betrag der Funktion und der Positiv- & Negativteil integrierbar sein muss.

22.06.2016, 12:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von hallstrom
Ich weiß dass für nichtnegative Funktionen gilt, dass sie über demselben Gebiet (uneigentlich) Riemann-integrierbar ist.

Damit willst du wohl eigentlich folgendes ausdrücken:

Ist eine nichtnegative Funktion (uneigentlich) riemannintegrierbar, dann ist sie auch Lebesgue-integrierbar.

So wird ein Schuh draus, d.h., das ist ein hinreichendes Kriterium.

Bei a) kann man so argumentieren: $\begin{align*} f \end{align*}$ ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn $\begin{align*} f \end{align*}$ messbar ist und $\begin{align*} |f| \end{align*}$ integrierbar ist (alternativ: Positivteil $\begin{align*} f_+ \end{align*}$ und Negativteil $\begin{align*} f_- \end{align*}$ integrierbar).

Man betrachtet hier also das nichtnegative $\begin{align*} |f(x,y)| = |\sin(x)| 1_{[0,\pi]}(x) |\cos(y)| 1_{[0,\pi]}(y) \end{align*}$ , argumentiert dann so wie du oben, und ist fertig (Messbarkeit ist wegen Stetigkeit ohnehin klar).

Bei b) sollte man die Messbarkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ untersuchen, in dem Zusammenhang genügt ein Blick auf $\begin{align*} f^{-1}(\{1\}) \end{align*}$ .

Bei c) bringt die Berechnung der Integrale von Positiv- und Negativteil die benötigte Klarheit.

22.06.2016, 14:24

hallstrom

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Ok super, vielen Dank! Das hilft mir schonmal weiter.

Zitat:

Bei a) kann man so argumentieren: $\begin{align*} f \end{align*}$ ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn $\begin{align*} f \end{align*}$ messbar ist und $\begin{align*} |f| \end{align*}$ integrierbar ist (alternativ: Positivteil $\begin{align*} f_+ \end{align*}$ und Negativteil $\begin{align*} f_- \end{align*}$ integrierbar).

Man betrachtet hier also das nichtnegative $\begin{align*} |f(x,y)| = |\sin(x)| 1_{[0,\pi]}(x) |\cos(y)| 1_{[0,\pi]}(y) \end{align*}$ , argumentiert dann so wie du oben, und ist fertig (Messbarkeit ist wegen Stetigkeit ohnehin klar).

Das ist alles verständlich. Was ich mich jetzt nur frage (vertändnishalber) ist, wenn man für eine solche Funktion immer äquivalent den Betrag betrachten kann, warum gilt das dann überhaupt nur für nichtnegative Funktionen?

Jetzt muss ich ja noch die Integrale berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! ( \int_{}^{} \! f(x,y) \, dy ) \, dx, = \int_{0}^{\pi } \! (\int_{0}^{\pi} \! sin(x)cos(y) \, dy) \, dx = \int_{0}^{\pi } \! ( \left[sin(x)sin(y)\right]_{0}^{\pi }) \, dx =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! ( \int_{}^{} \! f(x,y) \, dx ) \, dy \end{eqnarray*}$ analog.

Wie berechne ich denn das eigentliche Lebesgue-Integral?

Zitat:

Bei b) sollte man die Messbarkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ untersuchen, in dem Zusammenhang genügt ein Blick auf $\begin{align*} f^{-1}(\{1\}) \end{align*}$ .

Bei der b) tue ich mich ehrlich gesagt etwas schwer. Ich weiß gar nicht so richtig was mit der Funktion anzufangen bzw. eher mit den ganzen Mengen.
Aber deine Formulierung hört sich so an, als wäre die Funktion nicht messbar und daraus folgt, dass sie auch nicht Lebesgue-integrierbar ist?

Zitat:

Bei c) bringt die Berechnung der Integrale von Positiv- und Negativteil die benötigte Klarheit.

Hier gilt: $\begin{eqnarray*} f_{+}=\frac{1}{y^{2}}, f_{-}=-\frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$
Aber wie berücksichtige ich denn die Nebenbedingungen beim Integrieren?

22.06.2016, 16:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von hallstrom
Was ich mich jetzt nur frage (vertändnishalber) ist, wenn man für eine solche Funktion immer äquivalent den Betrag betrachten kann, warum gilt das dann überhaupt nur für nichtnegative Funktionen?

Bei allgemeinen Funktionen (mit positiven wie negativen Werten) gibt es Beispiele, wo die iterierten Integrale existieren, das Lebesgue-Integral aber nicht! Insofern sind die iterierten Integrale da kein allein ausreichendes Indiz für die Existenz des Lebesgue-Integrals.

Zitat:

Original von hallstrom
Bei der b) tue ich mich ehrlich gesagt etwas schwer. Ich weiß gar nicht so richtig was mit der Funktion anzufangen bzw. eher mit den ganzen Mengen.
Aber deine Formulierung hört sich so an, als wäre die Funktion nicht messbar und daraus folgt, dass sie auch nicht Lebesgue-integrierbar ist?

Das ist der Plan, ja.

Zitat:

Original von hallstrom
Hier gilt: $\begin{eqnarray*} f_{+}=\frac{1}{y^{2}}, f_{-}=-\frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$
Aber wie berücksichtige ich denn die Nebenbedingungen beim Integrieren?

Die Fallbedingungen steuern in natürlicher Weise die Intervall-Zerlegung der x- bzw. y-Integrale für die praktische Berechnung - was soll man sonst dazu sagen, ohne es gleich auszurechnen. Augenzwinkern

22.06.2016, 17:23

hallstrom

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Zitat:

Original von hallstrom
Hier gilt: $\begin{eqnarray*} f_{+}=\frac{1}{y^{2}}, f_{-}=-\frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$
Aber wie berücksichtige ich denn die Nebenbedingungen beim Integrieren?

Das habe ich mir schon gedacht, aber ich habe leider keine Idee wie ich das Intervall zerlegen muss.
Also mir würde es auch nichts ausmachen, wenn du es eben ausrechnest Big Laugh

23.06.2016, 13:23

hallstrom

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Ich muss nochmal nachhaken.

Also bei der b) habe ich die Funktion mal wie folgt geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} 1, falls x\in V \wedge y\in \left[0,1\right] & & 1, falls x\in V^{c}\cap \left[0,1\right] \wedge y\in \left[0,1\right] \\ & - & \\ 0, sonst & & 0, sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit erstmal richtig?
Weil dann will ich ja zeigen dass die Funktion nicht auf die 1 abbildet, nicht stetig und dadurch nicht messbar ist, richtig?
Aber wenn ich mir die Funktion wie oben anschaue tut sie das ja doch. verwirrt

Bei der c) bin ich leider immer noch nicht weiter.
(Außer dass bei dem Negativteil das - weg muss.)
Ich hatte mal überlegt den Positivteil von x bis y zu integrieren und den Negativteil von y bis x, aber das macht irgendwie auch keinen Sinn.

23.06.2016, 14:02

HAL 9000

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$\begin{align*} f^{-1}(\{1\}) = V\times [0,1] \end{align*}$ ist keine messbare Menge, wenn $\begin{align*} V \end{align*}$ nicht messbar ist:

Zitat:

Original von hallstrom
b) $\begin{eqnarray*} f(x,y)=1_{V\times[0,1]}(x,y)-1_{(V^{c}\cap[0,1])\times[0,1]}(x,y) \end{eqnarray*}$ , wobei V eine beliebige (nicht zwingend messbare) Teilmenge von [0,1] ist.

Dieses eine Gegenbeispiel reicht dann zum Nachweis, das $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht messbar ist.

Ist andererseits $\begin{align*} V \end{align*}$ eine messbare Menge, dann ist $\begin{align*} f \end{align*}$ integrierbar, weil es außerhalb von $\begin{align*} [0,1]^2 \end{align*}$ gleich Null ist.

23.06.2016, 14:12

hallstrom

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Vielen Danke, das macht Sinn.

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} f^{-1}(\{1\}) = V\times [0,1] \end{align*}$

Warum das gilt weiß ich nur leider noch nicht, aber vielleicht komme ich da noch drauf Freude

Bei der c) willst du mir wohl nicht weiter helfen Big Laugh

aber du hast auch schon genug gemacht.
Dann probiere ich es noch ein wenig selbst

23.06.2016, 14:43

hallstrom

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Oder muss man einfach von 0 bis 1 integrieren und das existiert nicht, da man nicht durch 0 teilen darf?

23.06.2016, 15:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von hallstrom

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} f^{-1}(\{1\}) = V\times [0,1] \end{align*}$

Warum das gilt weiß ich nur leider noch nicht

Das Urbild $\begin{align*} f^{-1}(\{1\}) \end{align*}$ umfasst alle Argumente, die Funktionswert 1 liefern. Gemäß Struktur von $\begin{align*} f \end{align*}$ als Differenz zweier Indikatorfunktionen können das nur Argumente $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ mit

$\begin{align*} 1_{V\times[0,1]}(x,y) = 1 \end{align*}$ und zugleich $\begin{align*} 1_{(V^{c}\cap[0,1])\times[0,1]}(x,y)=0 \end{align*}$

sein. Ersteres bedeutet $\begin{align*} (x,y)\in V\times [0,1] \end{align*}$ und damit speziell $\begin{align*} x\in V \end{align*}$ , was aber unmittelbar $\begin{align*} x\not\in V^c \end{align*}$ und damit sofort $\begin{align*} (x,y)\not\in (V^{c}\cap[0,1])\times[0,1] \end{align*}$ zur Folge hat, d.h., die zweite Bedingung ist automatisch erfüllt, wenn die erste gilt.

Zitat:

Original von hallstrom
Bei der c) willst du mir wohl nicht weiter helfen

Unablässiges, beharrliches Drängen... Betrachten wir erstmal nur den Positivteil

$\begin{align*} f_+(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{y^2} & \;\mbox{für}\; 0<x<y\leq 1\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$

Für $\begin{align*} 0<y<1 \end{align*}$ ist dann

$\begin{align*} \int f_+(x,y) ~ \dd x = \int\limits_0^y \frac{1}{y^2} ~ \dd x = y\cdot \frac{1}{y^2} = \frac{1}{y} \end{align*}$ ,

für alle anderen $\begin{align*} y \end{align*}$ ist das Integral 0. Damit ist

$\begin{align*} \int \left( \int f_+(x,y) ~ \dd x \right) ~ \dd y = \int\limits_0^1 \frac{1}{y} ~ \dd y = \infty \end{align*}$ ,

d.h. nicht integrierbar.

23.06.2016, 15:16

hallstrom

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Vielen Dank smile

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