Skalierung von räumlichen und Fourier-Koordinaten

23.06.2016, 14:59

kazga

Skalierung von räumlichen und Fourier-Koordinaten

Meine Frage:
Hallo matheboard,

ich habe ein 3D-Array in Matlab, welches die räumliche Verteilungen eines Laserstrahls beschreibt. Ich möchte eine 3D-FFT durchführen und dann diejenigen Werte herausfiltern, für die der Koordinatenvektor aus den Frequenz- (Fourier-)Koordinaten genau die Länge $\begin{eqnarray*} \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 \end{eqnarray*}$ hat, wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ für die Wellenlänge des Lichts steht. Da ich wenig intuitives Verständnis von dem Verhältnis von realen und Fourier-Koordinaten habe, würde ich euch bitten mir zu sagen, ob folgender Gedankengang korrekt und gültig ist:

Meine Ideen:
1. Mein Licht hat eine Wellenlänge von $\begin{eqnarray*} 532 \cdot 10^{-9}m \end{eqnarray*}$ .
2. Eine Einheit in meinem Array enspricht $\begin{eqnarray*} 10^{-3}m \end{eqnarray*}$ .
3. Daraus folgt, dass eine Einheit in dem fourier-transformierten Array $\begin{eqnarray*} 10^3 m^{-1} \end{eqnarray*}$ enstpricht.
4. Die o.g. Bedingung an die Länge des Koordinatenvektors im Fourier-Raum wird also von denjenigen Koordinaten $\begin{eqnarray*} v_x,v_y,v_z \end{eqnarray*}$ erfüllt, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} 10^{3\cdot2}m^{-1}(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = \left(\frac{2\pi}{532 \cdot 10^{-9}m}\right)^2 \approx 1.4 \cdot 10^{14}m^{-1} \end{eqnarray*}$

Besonders beim Schluss von 2 nach 3 bin ich mir überhaupt nicht sicher und würde es zu schätzen wissen, wenn mich jemand da bestätigen oder korrigieren kann.

23.06.2016, 15:13

Steffen Bühler

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RE: Skalierung von räumlichen und Fourier-Koordinaten
Willkommen im Matheboard!

Nein, der Schritt von 2 nach 3 ist tatsächlich leider falsch. Wie groß die Einheit im Spektrum ist, hängt neben der räumlichen Einheit noch von der Größe des Arrays ab. Wenn das (z.B. für eine einfache FFT) 1024 Einträge hat, ist die Länge in Deinem Fall also 1024mm. Und der Kehrwert davon ist dann die spektrale Einheit, hier also 0,976/m.

Ob der Ansatz übers Spektrum hier zielführend ist, kann ich allerdings nicht beantworten, das ist mehr ein Fall für die Physiker.

Viele Grüße
Steffen

23.06.2016, 15:31

kazga

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RE: Skalierung von räumlichen und Fourier-Koordinaten

Zitat:

Wenn das (z.B. für eine einfache FFT) 1024 Einträge hat, ist die Länge in Deinem Fall also 1024mm. Und der Kehrwert davon ist dann die spektrale Einheit, hier also 0,976/m.

Vielen Dank, das hilft mir schon mal um einiges weiter. Ist das einfach auf den 3D-Fall übertragbar? D.h. hätte ich ein Array der Größe 10x10x1000, entspricht dann eine Einheit in x- bzw y-Richtung 100/m und in z-Richtung 1/m?

23.06.2016, 15:38

Steffen Bühler

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RE: Skalierung von räumlichen und Fourier-Koordinaten
Ja, das sollte so stimmen.

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