Orthogonalität zeigen

24.06.2016, 10:08

Dieter V.

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Orthogonalität zeigen

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein gravierendes Problem mit der Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} U= ( \vec{u}_{1} , \vec{u}_{2}, ... , \vec{u}_{r}) \subset \mathbb R ^{n}, 1 <= r <= n \end{eqnarray*}$ ein Orthonormalsystem von Vektoren. Zeigen Sie für alle $\begin{eqnarray*} \vec{v} \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ist der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \vec{w}= \vec{v}-\sum\limits_{i=1}^{r} (\vec{v} * \vec{u}_{i}) * \vec{u}_{i} \end{eqnarray*}$

orthogonal zu jede der $\begin{eqnarray*} \vec{u}_{k} \in U, 1<=k<=r \end{eqnarray*}$

Ich weiß einfach nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich habe die Formel schon soo oft umgestellt, aber ich bekomme einfach nie w * u = 0 raus. Kann mir villeicht jemand dabei helfen, bin wirklich ein wenig am verzweifeln.

Meine Ideen:

24.06.2016, 10:19

Leopold

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Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Also mußt du $\begin{align*} \vec{w} \cdot \vec{u}_k \end{align*}$ berechnen. Und für $\begin{align*} \vec{w} \end{align*}$ nimmst du die vorgegebene Definition.

Ein Hinweis: Du verwendest den Malstern einmal für das Skalarprodukt und einmal für die skalare Multiplikation. Das ist zwar in der Analytischen Geometrie gelegentlich üblich, für Anfänger aber eine potentielle Gefahrenquelle (Entstehung sinnwidriger Terme durch suggestives Rechnen). Ich würde dir daher die folgende Darstellung empfehlen:

$\begin{align*} \vec{w} = \vec{v} - \sum_{i=1}^r \lambda_i \, \vec{u}_i \ \ \text{mit} \ \ \lambda_i = \vec{v} \cdot \vec{u}_i \end{align*}$

Und die Bedeutung von $\begin{align*} \lambda_i \end{align*}$ würde ich erst dann verwenden, wenn es für das Weiterargumentieren erforderlich ist.

24.06.2016, 13:44

Dieter V

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Orthogonalität zeigen
Hey erstmal danke für deinen Tipp, nur wenn ich damit arbeite, kann ich zwar mit skalaren arbeiten (hoffe das ist richtig), jedoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.

Mein Problem ist, das ich den Vektor v nicht wegbekomme und somit ist das Ergebnis immer falsch

24.06.2016, 13:47

Dieter V

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RE: Orthogonalität zeigen
Hättest du villeicht noch ein paar Tipps für mich? Ich steh bei dieseer Aufgabe wirklich auf dem Schlauch.

24.06.2016, 14:29

Leopold

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Wenn du es richtig anstellst, kommen irgendwann mal die Skalarprodukte $\begin{align*} \vec{u}_i \cdot \vec{u}_k \end{align*}$ ins Spiel. Jetzt beachte, was über die Vektoren vorausgesetzt ist. Dann kannst du auch zu diesen Skalarprodukten etwas sagen.
Mehr kann ich nicht für dich tun, ohne das Ergebnis gänzlich zu verraten. Für weitere Hilfe wäre es sinnvoll, wenn du deine Rechnung aufschreibst. Vielleicht ist da ja bereits ein Fehler drin.

25.06.2016, 20:52

Dieter V

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Probleme beim umstellen
Hey erstmal danke dafür das du mir hilfst, bin bei der Aufgabe wirklich ein wenig ratlos und habe es bisher auch noch nicht geschafft alles passend umzustellen.

Meine Rechnung sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{w} = \vec{v} -\sum\limits_{i=1}^{n} \vec{v}\vec{u}_{i} \vec{u}_{i}<br /> <br /> \vec{w}*\sum\limits_{j=1}^{k}\vec{u}_{j} = 0<br /> <br /> \Rightarrow (\vec{v} -\sum\limits_{i=1}^{n} \vec{v}\vec{u}_{i} \vec{u}_{i})*\sum\limits_{j=1}^{k}\vec{u}_{j} = 0<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{k}\vec{u}_{j} \vec{v} - \sum\limits_{i=1}^{n} \vec{v}\vec{u}_{i} \vec{u}_{i} \sum\limits_{j=1}^{k}\vec{u}_{j} = 0<br /> <br /> \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{k}\vec{u}_{j} \vec{v} (1 - \sum\limits_{i=1}^{n} \vec{u}_{i} \vec{u}_{i}) =0<br /> \end{eqnarray*}$

Das ist einer meiner Rechnungen in Kurz(komme mit der Formatierung hier schwer zurecht). Villeicht gehe ich falsch vor oder übersehe etwas wesentliches, jedoch bin ich momentan wirklich ein wenig verzweifelt, da ich nicht weiß wie ich die Formel richtig umstelle. Hoffe jemand kann mir dabei helfen.

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26.06.2016, 07:32

Leopold

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Es geht schon vorne los: $\begin{align*} \vec{v} \, \vec{u}_i \, \vec{u}_i \end{align*}$ ist ein sinnfreier Ausdruck. Auf die Problematik hatte ich dich bereits in meinem ersten Beitrag hingewiesen und dir eine Vorsichtsmaßnahme vorgeschlagen. Das hast du aber ignoriert und bist prompt den Abgrund hinabgestürzt. Als hätte ich es geahnt ...
Und dann verstehe ich nicht, wieso du $\begin{align*} \vec{w} \end{align*}$ mit einer Summe von Vektoren multiplizierst. Du brauchst $\begin{align*} \vec{w} \end{align*}$ doch lediglich mit $\begin{align*} \vec{u}_k \end{align*}$ zu multiplizieren.
Und was dann im Folgenden als Rechnung kommt - am besten sage ich dazu nichts.

Ich glaube, das Wichtigste wäre, daß du dir klarmachst, was die Dinge überhaupt bedeuten: Was versteht man unter der skalaren Multiplikation und was unter dem Skalarprodukt? Nehmen wir ein Beispiel:

$\begin{align*} \vec{u_1} = \left( - \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \frac{2}{3} \right) \, , \ \ \vec{u_2} = \left( - \frac{2}{15} , - \frac{11}{15} , \frac{2}{3} \right) \, ; \ \ \vec{v} = \left( 7,1,-2 \right) \end{align*}$

Rechne nach:

1. Die Vektoren $\begin{align*} \vec{u_1}, \vec{u_2} \end{align*}$ bilden ein Orthonormalsystem.

2. Berechne $\begin{align*} \vec{w} \end{align*}$ .

3. Berechne $\begin{align*} \vec{w} \cdot \vec{u_1} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{w} \cdot \vec{u_2} \end{align*}$ .

26.06.2016, 18:06

Dieter V

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Neuer Versuch
Die Summe sollte $\begin{eqnarray*} \vec{u}_{k} \end{eqnarray*}$ darstellen da ja gilt, dass $\begin{eqnarray*} 1 <= r <= n und 1 <= k <=r => 1 <= k <= r <= n \end{eqnarray*}$ oder täusche ich mich? und da $\begin{eqnarray*} \vec{u}_{k} \end{eqnarray*}$ auch mal gleich $\begin{eqnarray*} \vec{u}_{i} \end{eqnarray*}$ sein kann, reicht doch die normale Skalarmultiplikation nicht aus oder täusche ich mich da auch?

Meine jetzige idee ist aber diese und zwar:
$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{w} = \vec{v} - \sum\limits_{i=1}^{n} (\vec{v} \vec{u}_{i})\vec{u}_{i}<br /> \vec{w} * \vec{u}_{k} = 0 <br /> =>\vec{w} <br /> (\vec{v} - \sum\limits_{i=1}^{n} (\vec{v} \vec{u}_{i})\vec{u}_{i}) * vec{u}_{k} = 0 <br /> <br /> =>\sum\limits_{i=1}^{n} (\vec{v} \vec{u}_{i})\vec{u}_{i}= \sum\limits_{i=1}^{n} (\vec{v} \vec{e}_{i})\vec{e}_{i} = (\vec{v} \vec{e}_{1})\vec{e}_{1} + (\vec{v} \vec{e}_{2})\vec{e}_{2} + ... + (\vec{v} \vec{e}_{i})\vec{e}_{i} = \vec{v}<br /> <br /> (\vec{v} - \vec{v}) * vec{u}_{k} = 0 <br /> ( \vec{0} ) * vec{u}_{k} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Ist ein vorgehen diesmal richtig oder habe ich wieder gravierende Fehler gemacht? Falls es richtig ist, wie meintest du das mit der substitution?

26.06.2016, 19:19

Leopold

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RE: Neuer Versuch

Zitat:

Original von Dieter V
$\begin{eqnarray*} \vec{w} * \vec{u}_{k} = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist zu zeigen und nicht vorauszusetzen.

Zitat:

Original von Dieter V
$\begin{eqnarray*} (\vec{v} - \sum\limits_{i=1}^{n} (\vec{v} \vec{u}_{i})\vec{u}_{i}) * vec{u}_{k} = 0 \end{eqnarray*}$

Siehe oben.

Zitat:

Original von Dieter V
$\begin{eqnarray*} =>\sum\limits_{i=1}^{n} (\vec{v} \vec{u}_{i})\vec{u}_{i}= \sum\limits_{i=1}^{n} (\vec{v} \vec{e}_{i})\vec{e}_{i} = (\vec{v} \vec{e}_{1})\vec{e}_{1} + (\vec{v} \vec{e}_{2})\vec{e}_{2} + ... + (\vec{v} \vec{e}_{i})\vec{e}_{i} = \vec{v}<br /> <br /> (\vec{v} - \vec{v}) * vec{u}_{k} = 0 <br /> ( \vec{0} ) * vec{u}_{k} = 0 \end{eqnarray*}$

Der Zusammenhang mit dem Vorigen erschließt sich mir nicht. Vor allem: Wo kommen auf einmal die $\begin{align*} \vec{e}_i \end{align*}$ her?

Wenn so gar nichts klappt, bleibt mir nichts anderes übrig, als dir den Ansatz aufzuschreiben.

Mit $\begin{align*} \lambda_i = \vec{v} \cdot \vec{u_i} \end{align*}$ rechnet man:

$\begin{align*} \vec{w} \cdot \vec{u_k} = \left( \vec{v} - \sum_{i=1}^r \lambda_i \, \vec{u_i} \right) \cdot \vec{u_k} = \ldots \ldots \ldots = 0 \end{align*}$

Und die Pünktchen auszufüllen ist jetzt deine Aufgabe.

26.06.2016, 19:56

Dieter V

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RE: Neuer Versuch
Also mein Ansatz war, dass ein Orthonormalsystem ein Orthogonalsystem ist nur mit dem unterschied, dass die Vektoren die länge 1 haben (Einheitsvektoren).
In wikipedia wikipedia.org/wiki/Vektor unter dem Punkt Normierung steht auch die selbe Formel, habe ich da was missverstanden?

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{w} * \vec{u}_{k} = (\vec{v} - \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \vec{u} _{i} ) * \vec{u}_{k} = \vec{v} * \vec{u}_{k} - \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \vec{u} _{i} * \vec{u}_{k} = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Und ich glaube nicht das das die Lösung ist, da das viel zu trivial ist, jedoch wüsste ich an dieser Stelle nicht wie und wo ich noch umstellen sollte. Das einzige was ich mir noch vorstellen könnte wäre, dass ich die Skalarmultiplikationen substituiere und als skalare angebe um zu verdeutlichen, dass dann nur noch zum schluss ein skalar übrig bleibt.

26.06.2016, 21:18

Leopold

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RE: Neuer Versuch

Zitat:

Original von Dieter V
$\begin{eqnarray*} <br /> \ldots = \vec{v} * \vec{u}_{k} - \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \vec{u} _{i} * \vec{u}_{k} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch gerade zu zeigen.
Die Werte $\begin{align*} \vec{u_i} \cdot \vec{u_k} \end{align*}$ sind bekannt. Konkret. Die kannst du angeben!

Ich fürchte, du weißt einfach nicht, was ein Orthonormalsystem ist ... traurig

traurig

Die Definitionen zu lernen oder mindestens nachzuschlagen ist doch das Mindeste, was man erwarten kann. Wenn der Erhard Schmidt das wüßte ...

26.06.2016, 22:43

Dieter V

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RE: Neuer Versuch
Wenn das so ist dann kannst du mir sicherlich erklären was passiert wenn $\begin{eqnarray*} \vec{u}_{i} = \vec{u}_{k} \end{eqnarray*}$ ist?

Da 1 <= k <= r kann es doch auch passieren, dass zwei gleiche $\begin{eqnarray*} vec{u} \end{eqnarray*}$ in diese Rechnung mit einfliesen und das ist dann ja nicht orthogonal.

26.06.2016, 23:09

Leopold

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Mit $\begin{align*} \vec{u_i} \cdot \vec{u_k} = \delta_{ik} \end{align*}$ (Kronecker-Symbol) folgt:

$\begin{align*} \ldots = \vec{v} \cdot \vec{u_k} - \sum_{i=1}^r \lambda_i \, \vec{u_i} \cdot \vec{u_k} = \vec{v} \cdot \vec{u_k} - \sum_{i=1}^r \lambda_i \, \delta_{ik} = \vec{v} \cdot \vec{u_k} - \lambda_k = \vec{v} \cdot \vec{u_k} - \vec{v} \cdot \vec{u_k} = 0 \ \ \ \text{q.e.d.} \end{align*}$

26.06.2016, 23:29

Dieter V

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RE: Neuer Versuch
Habe nochmal nachgerechnet und wolltest du die ganze zeit darauf hinaus, das $\begin{eqnarray*} \vec{u}_{i} = \vec{u}_{k} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{v} \vec{u}_{k} - \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \vec{u}_{i} \vec{u}_{k} <br /> \end{eqnarray*}$
wenn $\begin{eqnarray*} \vec{u}_{i} = \vec{u}_{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{v} \vec{u}_{i} - \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \vec{u}_{i} \vec{u}_{i} = \lambda_{i} - \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \vec{u}_{i} \vec{u}_{k} = \lambda_{i} ( 1 - \vec{u}_{i} * \vec{u}_{i}) =\lambda_{i} ( 1 - 1) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

26.06.2016, 23:35

Dieter V

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RE: Neuer Versuch
Habe gesehen, dass du auch geantwortet hast. Ersteinmal vielen lieben dank, dass du mir geholfen hast, hoffe ich habe deine Nerven nicht allzusehr strapaziert. Ich muss zugeben das Kronecker Symbol ist mir noch unbekannt, werde mir es jetzt aber erstmal anschauen. Danke nochmal.

27.06.2016, 09:10

Elvis

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Tipp: Wer sich mit Leopold unterhält, sollte Leopold Kronecker und das Kronecker-Delta kennen Big Laugh

Big Laugh

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