Goniometrische Gleichung

24.06.2016, 21:34

Mathes11

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Goniometrische Gleichung

Meine Frage:
Also ich habe 2 allgemeine Fragen:

DIe Gleichung lautet:

cos(2x)+ sin(x) = 1

Mir ist bewusst, dass ich duch die Beziehung cos 2(x) = cos(x)^2 + sin(x)^2 und den trigonometrischen Pythagoras auf die Lösung komme.

Die Frage Die ich habe:

1. Durch umformen kommt man u.a. auf sin(x) = 1/2 -> Die Aufgaben sollen ohne Rechner gemacht werden: Also sollte man dann wirklich wissen ?

2. Kann mir jemand erklären wie man auf das Verhältnis mit cos(2x) =... kommt ?

Weil ich im Internet leider keinen Ansatz gefunden habe. Hat sicherlich was mit der Periode zu tun ?

Danke für die Antworten smile

smile

Meine Ideen:
Siehe Frage.

24.06.2016, 21:44

Bürgi

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RE: Goniometrische Gleichung FRAGE
Guten Abend,

1.

Zitat:

cos 2(x) = cos(x)^2 + sin(x)^2

Das ist falsch.

2. cos(2x) kann man als Sonderfall von
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta)= \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) \end{eqnarray*}$
betrachten. Versuche den Beweis für diesen Ausdruck zu finden.

24.06.2016, 22:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathes11
Die Aufgaben sollen ohne Rechner gemacht werden: Also sollte man dann wirklich wissen ?

Sollte man was wissen? verwirrt

verwirrt

Mal ganz generell: Irgendwie habe ich das Gefühl, in letzter Zeit immer mehr solcher Sätze im Board zu lesen, wo unverständliche Gedankenfragmente unverblümt niedergeschrieben werden - selbst im Hochschulbereich. Woran liegt das?

24.06.2016, 22:32

Mathes11

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Das mit dem cos(2x) muss stimmen, da meine gerechnete Lösung stimmt.

Mit dem ob man das wissen muss habe ich den cos(x) = 0,5 gemeint.

Ich habe die Aufgabe gefunden die man ohne Taschenrechner machen soll, deshalb die Frage.

25.06.2016, 00:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathes11
Das mit dem cos(2x) muss stimmen, da meine gerechnete Lösung stimmt.

$\begin{align*} \cos(2x)\stackrel{?}{=}\cos^2(x)+\sin^2(x) \end{align*}$ ist i.a. falsch, d.h., als Identität ist sie falsch.

Zitat:

Original von Mathes11
Mit dem ob man das wissen muss habe ich den cos(x) = 0,5 gemeint.

Oben war noch von sin(x) = 0,5 die Rede, was schon eher hinhaut, und zumindest einen Teil der Lösungen der Originalgleichung erfasst, wenn auch nicht alle.

25.06.2016, 16:43

Mathes11

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Die Lösung beinhaltet sin x = 0,5 und entsprechend weitere Lösungen, die man im mit dem Verhältnis cos (2x).. berechnen kann.

Ich habe im Internet diesen Ansatz mit cos 2x gefunden, deshalb frage ich.

Zudem komme ich damit auf die Lösungen..

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25.06.2016, 16:57

HAL 9000

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Das ist ebenso unglaubwürdig wie schwer überprüfbar, da du ja deinen vollständigen Lösungsweg verheimlichst.

25.06.2016, 18:02

Mathema

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Zitat:

Irgendwie habe ich das Gefühl, in letzter Zeit immer mehr solcher Sätze im Board zu lesen, wo unverständliche Gedankenfragmente unverblümt niedergeschrieben werden - selbst im Hochschulbereich. Woran liegt das?

Wie wahr - die Bestätigung folgt sofort:

Zitat:

Die Lösung beinhaltet sin x = 0,5 und entsprechend weitere Lösungen, die man im mit dem Verhältnis cos (2x).. berechnen kann.

Was ist das denn schon wieder für ein Satz? unglücklich

unglücklich

Leider kann ich aber deine Frage nicht beantworten, mich macht es aber auch zunehmend traurig.
Mit Hochschulmathematik hat diese Gleichung m.E wenig zu tun, ich schiebe das mal in den Schulbereich.

Zum Thema:

Ja - die Sinuswerte (und Kosinuswerte) für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° sollte man im Kopf haben, da sie wirklich einfach zu merken sind: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , wobei a von 0 bis 4 läuft (und beim Kosinus von 4 bis 0).

Zudem empfiehlt es sich eine Doppelwinkelfunktion im Kopf zu haben, z.B. $\begin{eqnarray*} \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du dir die andere einfach durch Ableitung herleiten, also $\begin{eqnarray*} (\sin(2x))'=... \end{eqnarray*}$ .

Für weitere Hilfestellung wäre es wohl angebracht, dass du deinen Rechenweg und Ergebnisse offen legst, sowie deine Sätze in Zukunft mal mit etwas mehr Sorgfalt formulierst (Tipp: Vorschau-Funktion nutzen und sich seinen Text nochmal selbst durchlesen).

25.06.2016, 18:04

Mathes11

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Einfach mit der Beziehung und den trigonom. Pythagoras umformen.

Am Ende müsste sinx ausgeklammert werden, dann kommst du auf die Lösung und dann kannst du es vergleichen das es stimmt mit dem cos 2x. Das geht auf ein Additionstheorem zurück.

Grüße

26.06.2016, 08:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathes11
Einfach mit der Beziehung und den trigonom. Pythagoras umformen.

In dieser deiner Beziehung $\begin{align*} \cos(2x)\stackrel{?}{=}\cos^2(x)+\sin^2(x) \end{align*}$ steht rechts der trigonometrische Pythagoras! Was du also hier konstant behauptest ist, dass stets $\begin{align*} \cos(2x)\stackrel{?}{=} 1 \end{align*}$ gilt, was offensichtlicher Blödsinn ist. Und solange du in der Frage nicht endlich Einsicht zeigst, d.h., dass tatsächlich $\begin{align*} \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x) \end{align*}$ gilt, hat es auch keinen Zweck, hier weiterzumachen. unglücklich

unglücklich

26.06.2016, 10:38

Leopold

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Ich vermute, daß Mathes11 den Unterschied von plus und minus in den Formeln gar nicht richtig wahrgenommen hat und durch Häufung von Vorzeichenfehlern, die sich zufällig gegenseitig aufheben, dann doch auf das richtige Ergebnis gekommen ist. Es kann natürlich auch ganz anders sein. Schimpfen nutzt jedenfalls nichts, das Gehirn ist einfach blockiert.

Hier einmal die vollständige Rechnung:

$\begin{align*} \cos(2x) + \sin(x) = 1 \end{align*}$

Mit der Formel $\begin{align*} \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \end{align*}$ für das doppelte Argument folgt:

$\begin{align*} \cos^2(x) - \sin^2(x) + \sin(x) = 1 \end{align*}$

Mit dem trigonometrischen Pythagoras $\begin{align*} \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \end{align*}$ kann man $\begin{align*} \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \end{align*}$ eliminieren:

$\begin{align*} 1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \sin(x) \cdot \left( 1 - 2 \sin(x) \right) = 0 \end{align*}$

Zu untersuchen sind zwei Fälle. Zunächst:

$\begin{align*} \text{1.} \ \ \ \ \sin(x) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

Dann

$\begin{align*} \text{2.} \ \ \ \ \sin(x) = \frac{1}{2} \end{align*}$

Im Intervall $\begin{align*} [0,2\pi] \end{align*}$ gibt es zwei Lösungen: $\begin{align*} x = \frac{\pi}{6} \end{align*}$ oder $\begin{align*} x = \frac{5}{6} \pi \end{align*}$ . Dann noch die Periodizität:

$\begin{align*} x = \frac{\pi}{6} + 2k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \ \ \ \text{oder} \ \ \ x = \frac{5}{6} \pi + 2k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

Fassen wir zusammen: Die Lösungen der Gleichung $\begin{align*} \cos(2x) + \sin(x) = 1 \end{align*}$ sind die Zahlen $\begin{align*} x = k \pi \end{align*}$ oder $\begin{align*} x = \frac{\pi}{6} + 2k \pi \end{align*}$ oder $\begin{align*} x = \frac{5}{6} \pi + 2k \pi \end{align*}$ mit jeweils $\begin{align*} k \in \mathbb{Z} \end{align*}$ .

26.06.2016, 14:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Ich vermute, daß Mathes11 den Unterschied von plus und minus in den Formeln gar nicht richtig wahrgenommen hat

Das habe ich beim ersten Mal auch gedacht. Wenn aber auch bei der dritten Wiederholung störrisch drauf bestanden wird, dann ist es kein Problem der Wahrnehmung, sondern pure Ignoranz. unglücklich

unglücklich

26.06.2016, 15:44

Leopold

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Ich kann mich erinnern, wie mir ein Schüler einmal einen Zettel mit einem kleinen Sätzchen vor die Nase hielt. Ich solle einmal zählen, wie viele Wörter da stünden. Ich zählte und sagte - ich weiß nicht mehr, sagen wir: zehn. Ob ich sicher sei, fragte der Schüler. Ich zählte noch einmal und sagte wieder: zehn. Das stimme nicht, meinte der Schüler und forderte mich auf, noch einmal zu zählen. Ich zählte noch einmal: zehn. Mit triumphierendem Blick ging dann der Schüler mit mir Wort für Wort durch, wir zählten gemeinsam und kamen auf - elf. Ein Mathelehrer, der nicht richtig zählen kann ...
Irgendein kleines Wörtchen, "es" oder "ist" oder so etwas, hatte mein Gehirn einfach nicht als selbständiges Objekt wahrgenommen. Reingefallen, wie wahrscheinlich schon viele vor mir!

Wir sehen oft, was wir sehen wollen, und nicht das, was ist. Das gilt ja sogar im übertragenen Sinn.

26.06.2016, 15:50

HAL 9000

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Klar, manchmal ist man betriebsblind. Aber gepaart mit dem gebetsmühlenartigen "ich hab das richtig gemacht" fehlt mir das Verständnis dafür - da bist du als Lehrer womöglich nachsichtiger.

27.06.2016, 14:41

Mathes11

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Ich habe mich verschrieben bei cos(2x)... Natürlich ist das Vorzeichen minus. ^^

Jedoch ist für mich die Frage warum cos(x) = sin^2 - cos^2 ist.

Gibt es dazu einen Beweis oder irgendwas ?

Die Gleichung habe ich auch wie Leopold oben gelöst, aber ich kann mir die Beziehung mit cos(2x) leider nicht erklären..

Grüße und nochmal Sorry für den Fehler...

27.06.2016, 15:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathes11
Jedoch ist für mich die Frage warum cos(x) = sin^2 - cos^2 ist.

Zwei Fehler und zwei Weglassungen in einer kurzen Formel - Respekt. Irgendwie hat wohl die Nachlässigkeit (man könnte auch sagen "Schlampigkeit") bei dir Methode. Es ging und geht immer noch um $\begin{align*} \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x) \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Mathes11
Gibt es dazu einen Beweis oder irgendwas ?

Dazu hat sich oben schon Bürgi geäußert:

Zitat:

Original von Bürgi
2. cos(2x) kann man als Sonderfall von
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta)= \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) \end{eqnarray*}$
betrachten. Versuche den Beweis für diesen Ausdruck zu finden.

Der Beweis dieses Additionstheorems hängt natürlich davon ab, auf welche Weise du die trigonometrischen Funktionen definierst. Geschieht dies geometrisch (d.h. im rechtwinkligen Dreieck bzw. Einheitskreis), dann z.B. so:

https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_...entities#Cosine

Bei der analytischen Definition über Reihenentwicklung wird man sicher anders vorgehen (z.B. Betrachtung gewisser Cauchyproduktreihen).

27.06.2016, 19:16

Mathes11

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Okay, Danke.

Ich wusste nicht das alles Abi Stoff ist - aber Danke vielmals.

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