Basisvektoren von Bild bestimmen

27.06.2016, 14:35

balance

Basisvektoren von Bild bestimmen

Hallo,

Ich habe mich gerade ein wenig verwirrt. Ich muss die Basisvektor des Bildes einer Linearen Abbildung finden.

Aufgabe 1:

$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z):=(2x+y+3z, x+4y-z, -7+5z) \end{eqnarray*}$

Mittels Kern-Bild-Satz sieht man, dass $\begin{eqnarray*} dim(Im(\phi))=2 \end{eqnarray*}$ also brauchen wir 2 Basisvektoren des Bildes.

Lösungsansatz 1:
Meine erste Idee war: Bilden wir einfach 2 Vektoren der Standardbasis ab.

Vorher bilden wir aber einen beliebigen Vektor ab um unsere Basis später zu überprüfen. (Übungshalber) $\begin{eqnarray*} \phi(1,1,1)=(6, 4, -2) \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} b_1:=\phi(1,0,0)= (2, 1, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2:=\phi(0,0,1)=(3,-1,5) \end{eqnarray*}$

Wir sehen sofort, diese zwei Vektoren sind linear unabhängig (sieht man in der 3. Komponente, aus 0 wird niemals 5.)

Nun sollte ja gelten: $\begin{eqnarray*} \phi(1,1,1)=\begin{pmatrix}6\\4\\-2\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir sehen, das stimmt für $\begin{eqnarray*} s=\frac{-2}{5}, t=\frac{18}{5} \end{eqnarray*}$

Wir kriegen also die Basis $\begin{eqnarray*} B=\{b_1,b_2\} \end{eqnarray*}$ für unser Bild.

Frage 1: Könnte ich die Basis auch geordnet angeben? Woher weis ich die Ordnung, also ob (b1,b2) oder (b2,b1)?

Lösungsansatz 2:
Wir wissen, dass wir jede Linear Abbildung als Matrix schreiben können. (Stichwort: Abbildungsmatrix) Wir wissen, dass die spalten der Abbildungsmatrix die Koordinatenvektoren der Basisvektoren des Bildes von phi sind. Sprich:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \\ 0 & -7 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir könnten nun wieder 2 Standardbasisvektoren abbilden und das spiel von oben wiederholen; oder aber wir Gaussen.

Frage 2: Irgendwie habe ich im Kopf, dass ich die Abbildungsmatrix einfach hätte Gaussen können und dann die Basisvektoren ablesen kann. Also:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \\ 0 & -7 & 5\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 1 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \Rightarrow b_1=(0,-7, 5) \ , \ b_2=(1,4,-1) \end{eqnarray*}$
Aber das scheint nonsense zu sein.

Aufgabe 2:
Gegeben sei die Matrix $\begin{eqnarray*} R=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 7 \\ 1 & 3 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Finde eine Basis vom Bild von A.

Lösungsansatz 1:
Durch gaussen sehen wir dass: $\begin{eqnarray*} rang(R)=2 \Ra dim(Im(R))=2 \end{eqnarray*}$ also brauchen wir 2 Basisvektoren.

$\begin{eqnarray*} R=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 7 \\ 1 & 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 7 \\ 1 & 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir haben also 2 Basisvektoren für das Bild. (Die 2 Vektoren sind linear unabhg.)

Anmerkung: Die Spalten der Matrix R sind ja die Standardbasisvektoren abgebildet durch die Lienare Abbildung. Wir wissen also, dass die 3 Spaltenvektoren von R im Bild sind, alle drei. Da die Dimension vom Bild baer nur 2 ist, sind sie wohl linear abhängig. Wir können also einfach 2 auswählen und schauen, dass sie nicht linear abhängig sind und haben unsere Basis.

EDIT(Folgendes ist falsch, die 2 Vektoren bilden eine Basis des Bildes)
Wenn wir das ganze aber überprüfen, wie in der Aufgabe 1, scheint es, also ob die zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}5\\6\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ garkeine Basis bilden - wir "sehen", dass $\begin{eqnarray*} \det(r)\neq 0 \Ra R \end{eqnarray*}$ nicht invbar.Ich sehe also, das Argument oben (siehe Anmerkung) ist so nicht gültig. Was man aber nun anscheinend machen kann ist: Gaussen durch elem. Spaltenoperationen und dann kann man die Basisvektoren ablesen.

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So, folgende Frage steht nun im Raum:

Frage 3: Gegeben sei eine Matrix und ich möchte eine Basis für dessen Bild finden. Wann Gausse ich nun mittels Spaltenoperationen und wann mittels Zeilenoperationen, so dass ich dann schlussendlich die Basisvektoren einfach aus der gegaussten Matrix lesen kann?

27.06.2016, 14:40

klarsoweit

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RE: Basisvektoren von Bild bestimmen

Zitat:

Original von balance
Lösungsansatz 1:
Meine erste Idee war: Bilden wir einfach 2 Vektoren der Standardbasis ab.

Du mußt schon die Bilder von allen Vektoren der Standardbasis nehmen. Augenzwinkern

27.06.2016, 15:24

balance

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RE: Basisvektoren von Bild bestimmen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von balance
Lösungsansatz 1:
Meine erste Idee war: Bilden wir einfach 2 Vektoren der Standardbasis ab.

Du mußt schon die Bilder von allen Vektoren der Standardbasis nehmen. Augenzwinkern

Wieso sollte ich denn das tun? verwirrt

Auf welche Frage oder welchen Teil bezieht sich das den? Was hättest du gemacht, nachdem du alle 3 Vektoren abgebildet hast? (Ich nehme an, einer von den dreien hättest du wohl weggeschmissen, nicht?)

27.06.2016, 15:37

klarsoweit

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RE: Basisvektoren von Bild bestimmen
Die Bilder von den Vektoren der Standardbasis bilden ein Erzeugendensystem des Bildraums. Du mußt also nur aus diesen Bildvektoren eine Basis extrahieren.

27.06.2016, 15:50

balance

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Ja, genau das mach ich doch... Wenn ich genau weis, dass ich eh nur 2 Vektoren brauchen (ich hab ja geschriebn, dimIm=2), so bilde ich erstmal nur 2 ab und schaue: Sind die lienar unabhängig? Ja => ok passt, nein => mach halt noch den 3. (Der ist dan garantiert lin. unabh.)

Ich hab also absolut keine Ahnung was das Problem bei meinem Vorgehen ist und auf was du nun hinaus willst.

Da du auf keine der 3 Fragen eingegangen bist, gehe ich eben davon aus, dass mein Vorgehen irgendwie Einfluss auf den weiteren Verlauf der Rechnung hat - was ich absolut nicht sehe.

27.06.2016, 15:55

klarsoweit

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Es stimmt zwar, daß dim(Im)=2 ist. Aber du hast keine Garantie, daß die Bilder von 2 willkürlich rausgepickten Basisvektoren tatsächlich auch eine Basis des Bildraums darstellen. Das steht nirgendwo.

EDIT: natürlich muß es passen, wenn die Bilder von 2 Basisvektoren linear unabhängig sind. Ich muß nochmal genauer lesen, wo du eventuell einen falschen Gedanken hast. Habe jetzt aber leider keine Zeit mehr.

EDIT2: was verstehst du unter einer "geordneten" Basis?

EDIT3: bei Frage 2 bzw. Lösungsansatz 2 mußt du die Abbildungsmatrix erst transponieren, so daß also die Bildvektoren als Zeilen in der Matrix stehen, und dann gaussen.

27.06.2016, 16:24

balance

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EDIT: Also, ich glaube der Kern des ganzen Threads ist:
Ich möchte die Basisvektoren des Bildraumes berechnen.

Variante 1: Ich bestimme dimIm und wähle diese Anzahl an linear Unabh. Spaltenvektoren der Abb. Mat aus. Fertig
Variante 2: Ich transponiere die Abb. Mat. und Gausse (Zeilen) - danach kann ich sie ablesen.

Variante 1 ist mir klar und macht auch Sinn - Variante 2 ist noch: hä?

Nochmal Edit: Ich glaub es hat gerade ein wenig Klick gemacht. Es ist ja klar, dass die Spaltenvektoren der Abb. Matrix ein erzeugenden System des Bildraumes sind, man somit auch eine Basis für das Bild findet. Damit man diese Basis findet, muss man schauen, welche Linear Unabhängig sind. Das macht man mit Gauss. Man transponiert die Matrix also und Zeilengausst, oder man Spaltengausst einfach die nicht transponierte. D.h. ich sehe, dass ich mit beiden Verfahren ans Ziel komme - was ich aber noch nicht raffe ist, wieso ich bei Variante 2 die Vektoren direkt ablesen kann. hmm

@EDIT: Also das was du sagst, ist alles klar - Ich bin halt Faul und bilde erstmal nur soviele Vektoren ab wie ich muss, wenn ich den schon weis wieviele ich brauche und prüfe dann auf lin. unabh. keit.

@EDIT2: Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, welche den gewünschten Vektorraum vollstädnig aufspannen. (Linearkombination). Also: $\begin{eqnarray*} B:=\{ b_1, ... , b_n\} \end{eqnarray*}$ Bei einer geordenten Basis bilden wir eine Familie der Basisvektoren (hoffe ich ha bdas korrekt gesagt), stopfen die Basisvektoren also im Prinzip in einen Tupel: $\begin{eqnarray*} B:=(b_1, ..., b_n) \end{eqnarray*}$ Bei letzterem hat man eine "Ordnung" - glaube das Stichwort wäre z.B. rechtshändiges und Linkshängies Koordinatensystem. (Mir ist schon "klar" das die Basis nicht äquivalent zum Koordinatnesystem darstellt) - Ich wollte einfach das Thema noch ein wenig reinnehmen, aber schlussendlich ist es unwichtig.

@EDIT3: Ja, das habe ich auch schon herausgefunden - und genau das ist der eigentliche Punkt. Ich verstehs nicht.

Ich sehe, dass der Kern das LGS $\begin{eqnarray*} Rx=0 \end{eqnarray*}$ löst. Also dass wir das einfach lösen können und dann gilt: $\begin{eqnarray*} Kern(R)=span(x) \end{eqnarray*}$ . Ich sehe aber nicht, wieso wir beim Bild transponieren müssen.

Frage 4: Kann es sein, dass Zeilen-Gaussen einer transponierten Matrix äquivalent zum Spalten-Guassen der nicht transponierten Matrix ist?

Frage 5: Kann ich sowas sagen wie: Der Bildraum "entspricht" dem Spaltenraum, der Kernraum "entspricht" dem Zeilenraum? (Falls ja, dann check ich genau das nicht - und ich tu mich gerade ein wenig schwer die Theorie dazu zu finden

28.06.2016, 08:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von balance
Frage 4: Kann es sein, dass Zeilen-Gaussen einer transponierten Matrix äquivalent zum Spalten-Guassen der nicht transponierten Matrix ist?

Im Prinzip ja.

Zitat:

Original von balance
Frage 5: Kann ich sowas sagen wie: Der Bildraum "entspricht" dem Spaltenraum, der Kernraum "entspricht" dem Zeilenraum?

Das mit dem Kern ist falsch, wie du auch leicht an der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sehen kannst. Eine Basis des Kerns ist ja jetzt nicht der Vektor (1, 0). Schlimmer noch: dieser Vektor gehört gar nicht zum Kern.

Du hast ja schon erkannt, daß die Spaltenvektoren der Abb. Matrix ein Erzeugendensystem des Bildraumes sind. Um daraus eine Basis zu extrahieren, schreibt man die Spaltenvektoren der Abb. Matrix zeilenweise in eine Matrix, um diese dann zu gaussen. Dieser Vorgang (also das zeilenweise Schreiben der Spalten in eine neue Matrix) nennt man auch "Transponieren". Ich hoffe, daß damit auch die weiteren Fragen beantwortet sind.

28.06.2016, 10:17

balance

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Danke - Ja, ich denke, ich muss da nochmal einfach ransetzten und dann machts schon klick. Fügt sich zur Zeit alles ein wenig zusammen smile

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