Integration durch Substitution

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Malthus777 Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution
Hallo zusammen,

wir haben heute eine Aufgabe gerechnet, bei der ich etwas Probleme habe. Die Aufgabe war:

[latex]\int_{0}^{1} \! 2x\cdot e^{x^{2} }  \, dx  [/latex]

Man sieht ja, dass [latex]e^{x^{2} }  [/latex] eine Stammfunktion der o.g. Funktion ist.

Allerdings sollten wir, für den Fall , dass man sowas nicht sofort sieht, die Aufgabe per Substitution lösen.

Zuerst haben wir [latex] y= x^{2}  [/latex] festgelegt und daraus resultierend [latex]\sqrt{y} = x [/latex].

Dann haben wir einfach die x durch die y getauscht und erhalten:

[latex]\int_{0}^{1} \! 2\cdot \sqrt{y}\cdot e^{y}\cdot \frac{1}{2\sqrt{y} }    \, dx  [/latex]

Und hier komme ich nicht mehr mit. Woher kommt dieses [latex]\frac{1}{2\sqrt{y} }  [/latex] und warum ist das dort? Kann mir da vielleicht einer auf die Sprünge helfen?

Beste Grüße
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe Integration durch Substitution
Guten Abend,

von dem Tausch der Variablen ist selbstverständlich auch der Faktor dx betroffen. Man berechnet

[latex]\frac{dy}{dx} \cdot dx[/latex] um so schließlich das dy zu erhalten:

[latex]\int_{0}^{1} \! 2\cdot \sqrt{y}\cdot e^{y}\cdot \frac{dy}{dx } \, dx = \int_{0}^{1} \! 2\cdot \sqrt{y}\cdot e^{y} \, dy[/latex]

Nun ist aber [latex]\frac{dy}{dx} = \frac1{2\sqrt{y}}~\implies~dy=\frac1{2\sqrt{y}} \cdot dx[/latex]
 
 
Malthus777 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man bei der Substitution immer noch zusätlich [latex]\frac{dy}{dx}\cdot dx  [/latex] berechnen um das neue dy zu erhalten? Funktioniert das immer auf die gleiche Weise?

In diesem Fall ist funktioniert das so,oder?

[latex]\frac{dy}{dx}\cdot dx  [/latex] = [latex]\frac{dy\cdot dx}{dx}\ [/latex] = [latex]\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dx}  [/latex] =[latex]\frac{dy}{dx}\ [/latex] und das ist in diesem konkreten Fall [latex]\frac{1}{2\sqrt{y} }  [/latex]

Das setze ich dann für das ursprüngliche dx ein und kann normal weiterrechnen?

Habe ich das richtig verstanden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bürgi
Nun ist aber [latex]\frac{dy}{dx} = \frac1{2\sqrt{y}}~\implies~dy=\frac1{2\sqrt{y}} \cdot dx[/latex]

Leider ist hier was schief gegangen. Wenn man in dem Ausgangsintegral [l]x = \sqrt y[/l] substituiert, ist [l]\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2 \sqrt y}[/l] . Daraus folgt dann [l]dx = \frac{1}{2 \sqrt y} \cdot dy[/l], womit dann das dx in dem Integral ersetzt wird.

Zitat:
Original von Malthus777
[latex]\frac{dy}{dx}\cdot dx  [/latex] = [latex]\frac{dy\cdot dx}{dx}\ [/latex] = [latex]\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dx}  [/latex] =[latex]\frac{dy}{dx}\ [/latex]

Das ist Unfug, denn dann wäre ja [latex]\frac{dy}{dx} \cdot dx = \frac{dy}{dx}[/latex] . unglücklich
Malthus777 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann anders gefragt:

Wenn ich substituiere, wird dann das dx einfach immer durch die Ableitung des "Substitus"*dy ersetzt?
Kann man das so sagen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

wird durch ersetzt, ja. Dabei ist die Ableitung der Substitutionsvorschrift nach .

Gelegentlich geschieht deren Berechnung auch über , wobei hier wiederum die Ableitung der Umkehrung nach ist! In dem Fall ist aber zu beachten, dass evtl. dadurch reingekommene (die sich nicht gegen den Restintegranden wegkürzen) anschließend auch noch substituiert werden müssen - am Ende darf im Integral kein mehr stehen, nur noch ! Ich betone letzteres so ausdrücklich, weil man hier im Board mühelos zig, wenn nicht sogar hunderte Threads findet, wo genau jenes Gebot der vollständigen (!) Substitution nicht befolgt wird.
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