Methode der kleinsten Quadrate

29.06.2016, 21:18

Dukkha

Methode der kleinsten Quadrate

Hallo,

Ich versuche zu zeigen, dass die Minimierung von $\begin{eqnarray*} ||Pa-y||_2^2 \end{eqnarray*}$ äquivalent dazu ist $\begin{eqnarray*} P^TPA=P^Ty \end{eqnarray*}$ zu lösen. Wobei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ein Matrix ist und $\begin{eqnarray*} a,y \end{eqnarray*}$ Vektoren.

Konkret muss ich die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial a_i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s(a,y)=\sum\limits_{i=0}^n\left(\sum\limits_{j=0}^m a_j\varphi_j(x_i)-y_i\right)^2 \end{eqnarray*}$ berechnen und $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ setzen und sollte dann auf folgendes Gleichungssystem kommen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^m\left(\sum\limits_{i=0}^n\varphi_j(x_i)\varphi_k(x_i)\right)a_j=\sum\limits_{i=0}^n y_i\varphi_k(x_i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1\dots,m \end{eqnarray*}$

Leider krieg ich das nicht hin.
Mein Versuch: $\begin{eqnarray*} s'(a,y)=\sum\limits_{i=0}^n 2\left(\sum\limits_{j=0}^m a_j\varphi_j(x_i)-y_i\right)\varphi_k(x_i)=\sum\limits_{i=0}^n 2\varphi_k \left(\sum\limits_{j=0}^m a_j\varphi_j(x_i)\right) -\sum\limits_{i=0}^n 2 y_i\varphi_k(x_i)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies \sum\limits_{i=0}^n \varphi_k\left(\sum\limits_{j=0}^m a_j\varphi_j(x_i)\right) =\sum\limits_{i=0}^n y_i\varphi_k(x_i) \end{eqnarray*}$

Ich wäre dankbar für Hilfe

29.06.2016, 21:34

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RE: Methode der kleinsten Quadrate
Ich sehe nicht den Unterschied zu dem gewünschten Gleichungssystem verwirrt