Polynome und Vektorräume

30.06.2016, 16:04

Ida K.

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Polynome und Vektorräume

Meine Frage:
Ich Weiß leider nicht wie ich bei der Folgenden Aufgabe rangehen soll, könnte mir jemand villeicht einen Tipp geben?
Aufgabe:
Sei Pn der Vektorraum der reelen Polynome vom Grade <= n. Sei U gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} <br /> U := { p_{n} \in P_{n} | p_{n}(-x) + p_{n}(x) = 0, \forall x \in \mathbb R \wedge p_{n}^{'}(0) = p_{n}^{'''}(0)}<br /> \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie: U ist Unterraum von Pn
Leiten Sie explizit eine Basis für U her.

Meine Ideen:
Ich weiß wirklich nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll, wäre für jede Hilfe dankbar.

30.06.2016, 17:51

Stark

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RE: Polynome und Vektorräume
Hi,das Untervektorraumkriterium ist dir bekannt?

30.06.2016, 18:48

Ida K.

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RE: Polynome und Vektorräume
Ja, aber wie zeige ich das hier? Ich muss doch ein Polynom aufstellen, jedoch weiß ich nicht wie...

30.06.2016, 19:24

Stark

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RE: Polynome und Vektorräume
Nunja. Das U eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Pi_{n} [\mathbb R ] \end{eqnarray*}$ ist, ist geschenkt. Es gilt zu zeigen das U $\begin{eqnarray*} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Da eignet sich die Nullfunktion am besten. Dann gilt noch zu zeigen, dass jede Linearkombination zweier Elemente aus U wieder ein Element von U ist: $\begin{eqnarray*} \alpha * p_{n} + y_{n} \in U, p_{n},y_{n} \in U , \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dafür zeigst du einfach, dass $\begin{eqnarray*} \alpha * p_{n}(-x) + y_{n}(-x) + \alpha * p_{n}(x) + y_{n}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und die zweite Eigenschaft von U.

03.07.2016, 22:37

Ida K.

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RE: Polynome und Vektorräume
Also darf ich das nun so verstehen, dass ich nur die Untervektorraumkriterien auf die Eigenschaften des Polynoms anwenden muss?

Also ungefähr so??
$\begin{eqnarray*} <br /> p_{n}, q_{n}, y_{n}, \lambda \in \mathbb R<br /> p_{n}(-x) + p_{n}(x) + q_{n}(-x) + q_{n}(x) = 0 <=> p_{n}(-x) + q_{n}(-x) + p_{n}(x) + q_{n}(x) = 0<br /> p_{n}^{'}(0) + q_{n}^{'}(0) = p_{n}^{'''}(0) + q_{n}^{'''}(0)<br /> <br /> (p_{n}(-x) + p_{n}(x))\Lambda = 0 <=> p_{n}(-x)\Lambda + p_{n}(x)\Lambda = 0<br /> p_{n}^{'}(0)\lambda = p_{n}^{'''}(0)\lambda<br /> <br /> p_{n}(-x) + p_{n}(x) + y_{n}(-x) + y_{n}(x) = 0 <=> p_{n}(-x) + p_{n}(x) = - y_{n}(-x) - y_{n}(x)<br /> <br /> p_{n}^{'}(0) + y_{n}^{'}(0) = p_{n}^{'''}(0) + y_{n}^{'''}(0) <=> p_{n}^{'}(0) - y_{n}^{'''}(0) = p_{n}^{'''}(0) - y_{n}^{'}(0)<br /> <br /> => y_{n} = -p_{n}<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig oder habe ich das falsch verstanden?

03.07.2016, 22:40

Ida K.

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RE: Polynome und Vektorräume
die Basis wäre dann doch
$\begin{eqnarray*} <br /> B:= (x^{n},x^{n-1},x^{n-2},...,x^{0})<br /> \end{eqnarray*}$

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04.07.2016, 20:05

Ida K.

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RE: Polynome und Vektorräume
Ist das so richtig ???

05.07.2016, 11:38

Elvis

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Nein, es ist doch sicher $\begin{eqnarray*} x\ne-x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\ne 0 \end{eqnarray*}$ , und auch die 1. und 3. Ableitung an der Stelle 0 sind für $\begin{eqnarray*} p_n(x)=x \end{eqnarray*}$ sicher verschieden.
Deine Anwendung des UVR-Kriteriums sieht auch nicht gut aus.

05.07.2016, 12:33

Ida K.

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KK jetzt stehe ich vollkommen auf dem Schlauch.

Kann mir jemand villeicht die Lösung sagen, dann versuche die das Ergebnis nachzuvollziehen und arbeite an meinen Defiziten

05.07.2016, 12:45

Ida K.

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Ich versteh nämlich nicht wo stark das alpha hergenommen hat und wofür?

05.07.2016, 13:00

Elvis

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Ich empfehle Dir, dass Du zuerst an Deinen Defiziten arbeitest, dann kannst Du solche einfachen Sachen ganz allein. Studiere die drei Grundbegriffe "Vektorraum", "Untervektorraum" und "UVR-Kriterium", das dauert höchstens 3 Stunden, dann hast Du heute noch die Lösung für das hübsche Beispiel, und in Zukunft bist Du nicht mehr so hilflos.
Für dieses harmlose Beispiel darfst Du Dich auch an Deine Schulkenntnisse erinnern ("Polynomfunktionen" und "Kurvendiskussion").

05.07.2016, 15:35

Ida K.

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Ich habe mir das jetzt alles ununterbrochen angeschaut, bin mir jedoch noch nicht sicher wie das problem angehen soll. Ich weiß nur das ich ein Polynomring habe.
$\begin{eqnarray*} <br /> p_{n}(-x) + p_{n}(x) = \sum\limits_{i=0}^{n} a_{i} ( -x_{i} ) + a_{i} x_{i} = \sum\limits_{i=0}^{n} a_{i} (-x_{i} + x_{i} ) = \sum\limits_{i=0}^{n} a_{i} (0 ) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Darauf würde ich nun die abgeschlossenheit der addition und der multiplikation Zeigen.

Bei $\begin{eqnarray*} P^{'}(0) = P^{'''}(0) \end{eqnarray*}$ weiß ich leider nicht wie anders rangehen soll.

hat stark mit dem alpha, einfach die abgeschlossenheit der Multiplikation in die abgeschlossenheit der Addition mit hineingenommen oder verstehe ich da was falsch?

05.07.2016, 18:43

Elvis

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Kann es sein, dass Du gar kein Problem mit der linearen Algebra hast, sondern dass Du nicht weißt, was ein Polynom und eine Polynomfunktion ist ? Kann es sogar sein, dass Du nicht weißt, was mit Ableitung einer Funktion in einem Punkt gemeint ist ? Ich versuche mal, zu erklären, wie ich die Aufgabe verstehe:

Es geht um reelle Polynome höchstens n-ten Grades, das sind Elemente des Polynomrings $\begin{eqnarray*} P_n=\mathbb R[X]_n=\sum_{i=0}^na_iX^i,a_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Speziell geht es um die Teilmenge $\begin{eqnarray*} U\subset P_n \end{eqnarray*}$ der Polynome, deren Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R,x\mapsto f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i \end{eqnarray*}$ gerade ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R : f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ , und deren 1. und 3. Ableitungen im Nullpunkt gleich sind .

Berechnen wir die Ableitungen (wieso kannst Du das nicht ?)
$\begin{eqnarray*} f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+...+a_nx^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+...+na_nx^{n1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+...+(n-1)na_nx^{n-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6a_3+24a_4x+...+(n-2)(n-1)na_nx^{n-3} \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} f'(0)=a_1, f'''(0)=6a_3 \end{eqnarray*}$ genau dann gleich, wenn $\begin{eqnarray*} a_1=6a_3 \end{eqnarray*}$ gilt .

Nachtrag: Hast Du auch schon gemerkt, dass und warum das ganze eine Scherzfrage ist und wieso die Antwort auf der Hand liegt ? Big Laugh

Big Laugh

05.07.2016, 20:29

Ida K.

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Ich frage lieber nochmal nach weil dein Nachtrag mich ein wenig verwirrt. Ja ich habe schonmal die Ableitung gebildet, jedoch wurde ich dadurch nicht schlauer. Nach deiner Aussage verstehe ich nun das ich den ersten Teil richtig gezeigt hatte und beim zweiten nur noch die Unterraumkriterien auf $\begin{eqnarray*} p_{n}^{'}(0) = p_{n}^{'''}(0) => a_{1} = 6a_{3} \end{eqnarray*}$ anwenden muss.

Oder habe ich da wieder etwas falsch verstanden?

Auf jedenfall vielen dank, dass du so viel Geduld mit mir hast.

05.07.2016, 20:50

Helferlein

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RE: Polynome und Vektorräume
@Elvis: In der Aufgabe steht aber

Zitat:

Original von Ida K.
$\begin{eqnarray*} <br /> U := \{ p_{n} \in P_{n} | \color{red}p_{n}(-x) + p_{n}(x) = 0\color{black}, \forall x \in \mathbb R \color{black} \wedge p_{n}^{'}(0) = p_{n}^{'''}(0)\}<br /> \end{eqnarray*}$

Und das sind meines Wissens die ungeraden Polynome Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.07.2016, 20:58

Ida K.

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RE: Polynome und Vektorräume
Ok kann mir jemand villeicht erklären wieso gerade ungerade oder mir einen hilfreichen link geben, da wikipedia mir nicht wirklich dabei hilft

05.07.2016, 22:13

Helferlein

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Hast Du Dir die Kategorie "allgemeinere Beispiele" angeschaut? Da steht doch ganz genau, was man bei Polynomen unter ungeraden bzw. geraden Polynomen versteht. Eindeutiger kann man es eigentlich nicht erklären.

Abgesehen davon, dass das nur Begrifflichkeiten sind, die Du für die Aufgabe eigentlich nicht brauchst (die aber beim Verständnis mit was man es hier zu tun hat hilfreich wären), hat Elvis die Eigenschaft gerade/ungerade in seiner Herleitung nicht benutzt. Er hat lediglich die Ableitungsbedingung verarbeitet. Der Rest sollte deine Aufgabe sein.

Eine Frage am Rande: Wie lange bist Du aus der Schule raus? Eigenschaften wie gerade/ungerade werden im Rahmen der Kurvendiskussion behandelt und zwar in der hier anzuwendenden Form ((un)gerade Polynome haben nur (un)gerade Exponenten). Auch die Ableitungen sind dort ein Standardtheme und da kann ich Elvis nur zustimmen, dass es verwunderlich ist, wenn Du mit den Basics Probleme hast.

05.07.2016, 23:10

Ida K.

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Ja kk ich werde mich damit auseinander setzen, jedoch nur meine Frage muss ich jetzt das Unterraumkriterium auf das Ergebnis der Ableitung anwenden, um diese Eigenschaft zu beweisen?

Stark hat einmal den wert $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eingebracht. hat er da schon die Abgeschlossenheit der Multiplikation und der Addition vorgenommen? Wenn ja geht das und zählt als ein Beweis?

Wenn ich nur noch das Unterraumkriterium auf $\begin{eqnarray*} a_{1} = 6a_{3} \end{eqnarray*}$ anwenden muss, warum gilt das nicht auch schon bei den $\begin{eqnarray*} p_{n}^{'}(0) = p_{n}^{'''}(0) \end{eqnarray*}$ ? Denn das ist ja auch nichts anderes als eine Funktion und das Unterraumkriterium lässt sich doch auch auf Funktionen anwenden oder verstehe ich da etwas falsch?

Wäre nett wenn ihr die Antwort darauf noch geben könntet.

Am rande, ja Polynome sind meine Schwäche, ich weiß die einzelnen Ableitungen wohl zu deuten, jedoch ist wie euch auch schon aufgefallen sein dürfte die Schwäche in der Linearen Algebra bei mir das zeigen von Vektorräumen und Untervektorräumen. Daher möchte ich das Trainieren/verbessern und dafür finde ich persönlich muss man auch mal "dumme" Fragen stellen um manche Sachen besser Nachvollziehen zu können.

05.07.2016, 23:46

Helferlein

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RE: Polynome und Vektorräume
Fassen wir doch einfach mal zusammen, wie der Stand ist.
Die Aufgabe ist der Nachweis, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} <br /> U := \{ p_{n} \in P_{n} | p_{n}(-x) + p_{n}(x) = 0, \forall x \in \mathbb R \wedge p_{n}^{'}(0) = p_{n}^{'''}(0)\}<br /> \end{eqnarray*}$ um einen UVR handelt.

Dazu sind drei Kriterien nachzuweisen:

$\begin{eqnarray*} 1) p(x)=0~\forall~x~\Rightarrow p(x)\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) p,q\in U \Rightarrow p+q \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3) p \in U, \lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lambda\cdot p \in U \end{eqnarray*}$

Die Formulierung von Stark fasst die Punkt 2) und 3) zusammen.

Du hast nun zwei Möglichkeiten: Entweder Du beziehst Dich auf das Aussehen der Polynome aus U, oder Du versuchst es allgemein mit Funktionen p und q. Ihr konkretes Aussehen spielt für den Nachweis nämlich keine Rolle. Wichtig sind nur die beiden Eigenschaften $\begin{eqnarray*} p(-x)=-p(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p'(0)=p'''(0) \end{eqnarray*}$

06.07.2016, 11:52

Elvis

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RE: Polynome und Vektorräume

Zitat:

Original von Helferlein
@Elvis: In der Aufgabe steht aber

Zitat:

Original von Ida K.
$\begin{eqnarray*} <br /> U := \{ p_{n} \in P_{n} | \color{red}p_{n}(-x) + p_{n}(x) = 0\color{black}, \forall x \in \mathbb R \color{black} \wedge p_{n}^{'}(0) = p_{n}^{'''}(0)\}<br /> \end{eqnarray*}$

Und das sind meines Wissens die ungeraden Polynome Augenzwinkern

Augenzwinkern

hoppla, da habe ich einen gedanklichen Vorzeichenfehler gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

macht aber fast gar nichts, abgesehen davon, dass dann die Ableitungen doch eine Rolle spielen.

@Ida K.
Irgendwann musst Du das UVR-Kriterium anwenden, sonst kommst Du nie weiter. Nur darüber reden hilft nichts.

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