Funktionen in Restklassen

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01.07.2016, 15:48	Mathemuppi	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen in Restklassen Meine Frage: Hallo zusammen, folgende Aufgabe möchte ich lösen: Funktionene in Restklassen: (i) Die Funktion f: N(Natürliche Zahlen mit 0) --> N (Natürliche Zahlen mit 0) ordne jeder Zahl n Element von N den 7er-Rest zu. Prüfen Sie, ob die Funktion injektiv und surjektiv ist. (ii) Die Funktion g: {0,1,2,3,...,14} --> {0,1,2,3,...,14} ordne jeder Zahl x Element {0,1,2,3,...,14} den 15er-Rest von 4x zu. Untersuchen Sie, ob g injektiv und surjektiv ist. Meine Ideen: Mein Problem besteht in der Aufstellung der Funktion. Der zweite Teil jeder Aufgabe, das Überprüfen der Surjektivität und Injektivität, stellt bei mir kein Probelm dar. Hilfe benötige ich also bei de Aufstellung der Funktion. Das Ziel ist eine Funktion aufzustellen mit den Eigenschaften: 1. Funktion: f: N mit 0 --> N mit 0 mit f(x) = ??? Die Funktion gibt also den 7er-Ret an, wenn ich das richtig verstehe. Muss ich also die Zahlen in N finde die einen 7 er Test haben. Meine Frage ist. Wobei denn den 7er Rest? Bei Modulo 7? Mein Rechenansatz wäre: In $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ gibt es ja folgende Zahlen mit Rest 7. Das wäre ja die Restklasse 0 von Modulo 7: Restklasse 0 = {...-14,-7,0,7,14,21,..}. Hilft mir dieser Ansatz weiter? Wir muss ich forgehen? 2.Funktion: A={0,1,2,3,...,14} B={0,1,2,3,...,14} g: A --> B g(x)=4x??? Den Ansatz von 4x kann man schonmal übernehmen aber wie ist dann der Rest 14 bei 4x? Wenn ich bei beiden Funktionen mir die Kongruenzrechnung zur Hilfe nehme: $\begin{eqnarray} a \equiv b (mod m) <---> m \| a - b \end{eqnarray}$ und laut Definition Teiler gilt $\begin{eqnarray} m \times t = a - b \end{eqnarray}$ Bin ich denn überhaupt auf einem richtigen Weg oder soll ich besser anders denken? Lieben Danke und viele Grüße LaTeX-Tags ergänzt, Korrekturbeitrag gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen
01.07.2016, 18:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll das heißen, eine Funktion aufzustellen ? Eine Funktion ist gegeben durch Definitionsbereich, Wertebereich und Graph. Du sollst nur über die Eigenschaften der Funktionen nachdenken.
01.07.2016, 18:51	Mathemuppi	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich keine Funktion aufstellen in Form f(x)= Ich lese die Aufgabe mit dem Ziel im Zusatz steht erstelle die umkehrfunktion beider Funktionen und dafür brauche ich ja die Funktionen?! Dabei fällt es mir schwer eine mit den Eigenschaften der Reste anzugeben. Oder lese ich die Aufgabe falsch
01.07.2016, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"f(x)=..." ist nicht entscheidend für Funktionen (das habe ich schon gesagt). Wichtig in dieser Aufgabe sind die zu untersuchenden Eigenschaften injektiv und surjektiv. Umkehrbar (bijektiv) ist eine Funktion genau dann, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
01.07.2016, 23:44	Mathemuppi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann ist die Aufgabe so gemeint dass ich keine Funktion aufstellen muss Sondern anhand der anGabe die im Text sind die Eigenschaften erkennen soll / überprüfen soll. Macht es jetzt leider nicht einfacher ^^ Bis jetzt gab es bei uns nur angegeben Funktionen der oben genannten Form und damit sollte man dann die Eigenschaft überprüfen.
02.07.2016, 11:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen gibt es schon sehr lange, und man darf sich nicht nur mit Funktionen beschäftigen, die von den reellen in die reellen Zahlen gehen und dann auch noch eine explizite Darstellung der Zuordnungsvorschrift haben. Diese sind auch interessant, aber sie sind nur ein winziges Beispiel für die Vielfalt der möglichen Funktionen, die auf beliebigen Mengen definiert werden, in beliebige Mengen abbilden und auf beliebige Weise beschrieben werden können. Studiere die Definitionen für die Begriffe "Funktion", "injektiv", "surjektiv", "bijektiv", dann hast Du den ersten Schritt getan, um bei dem großen Spiel mitzuspielen. Die ganze große Welt der Mathematik ist nichts als Mengenlehre, und auch Funktionen sind nur spezielle Mengen f=(D,W,G) mit speziellen Eigenschaften.
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02.07.2016, 13:15	Mathemuppi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lieben Dank für deine Antwort. Anscheinend habe ich mir mehr erhofft als Antwort, denn leider bringt mich das nicht weiter. Die Definitionen von Funktionen Surjektivität und injektivität kenne ich und habe ich auch verstanden. Dann ist es mir leider möglich die Aufgabe zu lösen auch nicht mit Hilfe vom Forum.
02.07.2016, 14:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet, dass Du die Definitionen nicht verstanden hast. $\begin{eqnarray} f:\mathbb N\to \mathbb N, n\mapsto n (mod 7) \end{eqnarray}$ ist nicht injektiv, denn f(1)=f(8)=1 und ist nicht surjektiv, da die Reste nur die Werte 0 bis 6 annehmen. Also ist f nicht bijektiv, es gibt keine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} g:A=\{0,1,...,14\}\to B=\{0,1,...,14\}, x\mapsto 4x(mod15) \end{eqnarray}$ g(0)=0,g(1)=4,g(2)=8,g(3)=12,g(4)=1,g(5)=5,g(6)=9,g(7)=13 g(8)=2,g(9)=6,g(10)=10,g(11)=14,g(12)=3,g(13)=7,g(14)=11 g nimmt jeden Wert aus B einmal an, ist also surjektiv. g nimmt jeden Wert genau einmal an, ist also injektiv. g ist injektiv und surjektiv, also bijektiv. Genau so wie man g durch eine Wertetabelle angibt, gibt man die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} g^{-1} \end{eqnarray}$ durch eine Wertetabelle an: 0 -> 0, 1 -> 4, 2 -> 8, 3 -> 12, 4 -> 1, 5 -> 5, 6 -> 9, 7 -> 13, 8 -> 2, 9 -> 6, 10 -> 10, 11 -> 14, 12 -> 3, 13 -> 7, 14 -> 11 Wenn man dann noch einmal genau hinsieht, erkennt man, dass $\begin{eqnarray} g=g^{-1} \end{eqnarray}$ ist.
02.07.2016, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich nun für Mathematik interessiert, fragt man sich, warum das so ist. Betrachten wir, was wegen $\begin{eqnarray} A=B \end{eqnarray}$ möglich ist, die Funktion $\begin{eqnarray} g^2:A\to A, x\mapsto 4\cdot(4x) \; (mod15) \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} g^2(x)\equiv x \; (mod15) \end{eqnarray}$ , also offensichtlich $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ bijektiv mit $\begin{eqnarray} g^{-1}=g \end{eqnarray}$ . Hätte man das auch ohne Wertetabellen wissen können ? Kann sein, kann auch nicht sein ... hinterher ist man immer schlauer.

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