Lineare Abbildung |
01.07.2016, 19:50 | Tobi M. | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lineare Abbildung Hallo, ich habe nur eine kurze und hoffentlich simple Frage. Wie zeige bei einer Linearen Abbildung , dass sie Injektiv, Surjektiv oder gar Bijektiv ist? Meine Ideen: Meine Idee ist dazu nur, dass wenn die Darstellungsmatrix Regulär ist, ist sie auch Bijektiv aber wie kann ich explizit Surjektivität und Injektivität zeigen? |
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02.07.2016, 18:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Simple Antwort: Ax=x ist die Identität, und die ist ganz sicher bijektiv. Da braucht man nicht einmal eine Matrix, das gilt auch für unendlichdimensionale Vektorräume. |
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03.07.2016, 15:54 | Tobi M. | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich sollte mich wohl genauer ausdrücken und zwar weiß ich nicht genau wie ich bei Linearen Abbildungen auf Injek-, Surjek- und Bijektivität prüfe. Bei Wikipedia verstehe ich das so, dass eine Abbildung Injektiv ist, sofern sie Linear ist. Surjektiv ist sie, wenn die Dimension des Rang's = der Dimension der Matrix ist. Bijektiv ist es wenn die Matrix Regulär ist. |
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03.07.2016, 18:26 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, das ist falsch. Eine lineare Abbildung f:V->W ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern 0 ist. Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn ihr Bild der Raum W ist. Eine Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Auf Matrizen bezogen heißt das, f ist genau dann surjektiv, wenn der Rang der zugehörigen Matrix A gleich der Dimension von W ist. f ist genau dann bijektiv, wenn die quadratische Matrix den vollen Rang hat, das ist genau dann der Fall, wenn sie regulär ist, d.h. wenn det(A) nicht 0 ist. Im übrigen gilt der Dimensionssatz dim(V)=dim(ker(f))+dim(im(f))=dim(ker(f))+rg(A) , der liefert Aussagen über den Kern und beantwortet damit die Frage nach der Injektivität. |
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