Lineare Abbildung

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Tobi M. Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung
Meine Frage:
Hallo, ich habe nur eine kurze und hoffentlich simple Frage. Wie zeige bei einer Linearen Abbildung , dass sie Injektiv, Surjektiv oder gar Bijektiv ist?

Meine Ideen:
Meine Idee ist dazu nur, dass wenn die Darstellungsmatrix Regulär ist, ist sie auch Bijektiv

aber wie kann ich explizit Surjektivität und Injektivität zeigen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Simple Antwort: Ax=x ist die Identität, und die ist ganz sicher bijektiv. Da braucht man nicht einmal eine Matrix, das gilt auch für unendlichdimensionale Vektorräume.
Tobi M. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sollte mich wohl genauer ausdrücken und zwar weiß ich nicht genau wie ich bei Linearen Abbildungen auf Injek-, Surjek- und Bijektivität prüfe.

Bei Wikipedia verstehe ich das so, dass eine Abbildung Injektiv ist, sofern sie Linear ist. Surjektiv ist sie, wenn die Dimension des Rang's = der Dimension der Matrix ist. Bijektiv ist es wenn die Matrix Regulär ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist falsch.
Eine lineare Abbildung f:V->W ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern 0 ist. Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn ihr Bild der Raum W ist. Eine Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Auf Matrizen bezogen heißt das, f ist genau dann surjektiv, wenn der Rang der zugehörigen Matrix A gleich der Dimension von W ist. f ist genau dann bijektiv, wenn die quadratische Matrix den vollen Rang hat, das ist genau dann der Fall, wenn sie regulär ist, d.h. wenn det(A) nicht 0 ist. Im übrigen gilt der Dimensionssatz dim(V)=dim(ker(f))+dim(im(f))=dim(ker(f))+rg(A) , der liefert Aussagen über den Kern und beantwortet damit die Frage nach der Injektivität.
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