Das System L_Q als Erweiterung der Prädikatenlogik 1.Stufe

02.07.2016, 17:42	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Das System L_Q als Erweiterung der Prädikatenlogik 1.Stufe Heyho ihr Lieben, ich habe gerade einfach nur das Problem, dass ich nicht wirklich weiß, wie ich meine Gedanken richtig aufschreiben kann. Und zwar geht es um Folgendes: Ich habe ein neues logisches System $\begin{eqnarray} \mathcal{L_Q} \end{eqnarray}$ gegeben, wobei die Sprache der ersten Stufe einfach um einen neuen Quantor Q erweitert wird, sodass " $\begin{eqnarray} Qx\varphi \end{eqnarray}$ " besagt: "es gibt überabzählbar viele x mit $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ " Jetzt soll ich anhand dieses Beispiels zeigen, dass das System ausdrucksstärker als die Prädikatenlogik erster Stufe ist: "Überabzählbare Ordnungen, in denen jedes Element höchstens abzählbar viele Vorgänger hat" Dies könnte ich ja in meiner Sprache durch folgenden Ausdruck darstellen: $\begin{eqnarray} G \wedge Qx (x=x)\wedge \forall x \neg Qy (y<x) \end{eqnarray}$ wobei man die Symbolmenge S={<} für die Ordnungen hat und G die Menge der Ausdrücke sein soll, die die Ordnungsaxiome darstellt (das kann man ja schon in der ersten Stufe) So, jetzt will ich zeigen, dass es in der ersten Stufe keinen Ausdruck gibt, der diese Ordnungen charakterisiert. Dazu nehme ich an, es gäbe eine solchen Ausdruck, nennen wir ihn $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ . Und für eine Struktur $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ soll dann gelten $\begin{eqnarray} \mathcal A \models \sigma \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ Ordnung, $\begin{eqnarray} \|\mathcal A\|\geq \aleph_1 \end{eqnarray}$ und jedes Element aus dem Träger A von $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ hat nur abzählbar viele Vorgägner (kann ich das irgendwie kürzer aufschreiben? Meine Idee ist nun folgende: Ich will nun eine überabzählbare Menge von Konstanten $\begin{eqnarray} c_{\lambda} \end{eqnarray}$ und noch einer weiteren Konstante c, die größer als alle anderen ist, hinzunehmen. Und dann irgendwie eine Ausdrucksmenge mit diesen cs mit $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ vereinigen. Dann ist diese Menge nicht erfüllbar, da c überabzählbar viele Vorgänger hat. Jede endliche Teilmenge ist jedoch erfüllbar. Dies ist ein Widerspruch zum Kompaktheitssatz, der ja in der Prädikatenlogik erster Stufe gilt. Nur wie stelle ich das formal dar? Bzw wie schreibe ich es auf? Irgendwie mit einer Indexmenge für die Lambdas? Kann mir jemand helfen? LG
04.07.2016, 15:32	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand?
24.07.2016, 19:35	Die Nummer Null	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das System L_Q als Erweiterung der Prädikatenlogik 1.Stufe Also ich verstehe deinen Beweis nicht so ganz und finde ihn auch viel zu kompliziert. In Praedikatenlogik erster Stufe kann man unendliche Strukturen nicht einmal von beliebig grossen endlichen unterscheiden. In deinem Fall waere also eine viel einfachere Aussage angebracht. Qx.x=x alleine reicht schon aus. Du kannst einfach mittels Ehrenfeucht-Fraisse Spielen zeigen, dass eine FO-Formel zwei unendliche Mengen nicht unterscheiden kann. Allerdings erfuellt eine abzaehlbare Menge oben genannte Formel offensichtlich nicht. Also ist deine Logik ausdrucksstaerker.

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