Talermünzen

03.07.2016, 01:12

Fairytale2

Talermünzen

Meine Frage:
Es war einmal in einem weit entfernten Land...

Meine Ideen:
...da gab es nur 23- und 28-Talermunzen. Was ist der größte ganzzahlige Taler-Betrag, den man damit nicht bezahlen konnte (ohne Wechselgeld zu nutzen)?
Später wurde zusätzlich eine 17-Talermunze eingeführt. Was war nun der größte ganzzahlige Taler-Betrag, den man damit nicht bezahlen konnte (ohne Wechselgeld zu nutzen)?

03.07.2016, 15:37

HAL 9000

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RE: Es war einmal...
Für Teil 1 ergibt sich mit diesen Überlegungen der Betrag $\begin{align*} 23\cdot 28-23-28=593 \end{align*}$ .

Für Teil 2 fehlt mir noch eine schlüssige Begründung für den Wert 190, die mit wenig Aufwand auskommt. Augenzwinkern

07.03.2017, 22:16

DrummerS

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RE: Es war einmal...
Dieser Thread ist anscheinend nicht mehr aktuell, aber das macht ja nichts. Die von HAL 9000 erwähnte "schlüssige Begründung" ist ja noch ausstehend.

Vielleicht hat jemand Interesse, meinen aus Interessen an der Aufgabe entwickelten undurchdachten und komplizierten Ansatz zu verwerfen, zu verändern oder zu Ende zu führen Augenzwinkern

. Auf eine elegante Lösung bin ich leider nicht gekommen.

Wir haben also $\begin{eqnarray*} P = 17x + 23y + 28z = 17\left(x+y+z\right) + 6y + 11z \text{ mit } x,y,z \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (mit Null).
Offensichtlich ist dann $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von 17 (*), wenn $\begin{eqnarray*} y = z \end{eqnarray*}$ .

Der Ansatz ist nun, zunächst $\begin{eqnarray*} x + y + z = n \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Je $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt es dann $\begin{eqnarray*} \left(n+1\right)\left(n+2\right)/2 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten für die Wertebelegung von $\begin{eqnarray*} x,y \text{ und } z \end{eqnarray*}$ , um jeweils das betraglich gleiche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auszurechnen. Ferner ergibt sich für $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ein Zahlenbereich, in dem alle möglichen Werte von $\begin{eqnarray*} P\left(n\right) \end{eqnarray*}$ liegen:

$\begin{eqnarray*} 17n \leq P \leq \left(17+11\right)n \end{eqnarray*}$ ,

womit dann ermittelt werden kann, ab welchem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Anzahl an berechenbaren Werten von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ in dem definierten Zahlenbereich größer wird, als die Anzahl an natürlichen Zahlen in jenem Zahlenbereich:

$\begin{eqnarray*} \left(17+11 -17\right)n +1\leq \left(n+1\right)\left(n+2\right)/2 \Rightarrow n > 18 \end{eqnarray*}$ .

Man könnte nun vermuten, dass die natürlichen Zahlen ab einer Untergrenze bei $\begin{eqnarray*} P\left(n =18\right) \end{eqnarray*}$ alle dargestellt werden können. Leider sind aber nicht alle berechenbaren Werte paarweise verschieden, denn es ist z.B. $\begin{eqnarray*} P\left(n\geq 17, y=0,z=6\right)=P\left(n\geq 17, y=11,z=0\right) \end{eqnarray*}$ . Hinzu kommt, dass aufgrund von $\begin{eqnarray*} P\left(n_{1}, y_{1}=z_{1}\right)=P\left(n_{1}+1, y_{1}-1=z_{1}-1\right) \end{eqnarray*}$ ebenso gleiche Werte mehrfach auftreten. Des Weiteren sind natürlich noch mehr paarweise gleiche Werte möglich, da die "Streuung" $\begin{eqnarray*} 11n \end{eqnarray*}$ mit größere werdendem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zunehmend mehr Vielfache der Zahl 17 {siehe: (*)} umfasst. Eine entsprechende Formulierung fehlt mir bisher.

Allen Interessierten wünsche ich viel Glück und Erfolg smile

08.03.2017, 10:27

HAL 9000

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Da sich dann doch noch jemand für das Problem interessiert, gebe ich mal noch meine umständliche Lösung für Wert 190 zum besten:

Aus $\begin{align*} P=17x+23y+28z \end{align*}$ folgt modulo 17 die Kongruenz $\begin{align*} 6(y-z)\equiv P\bmod 17 \end{align*}$ , aufgelöst $\begin{align*} y-z\equiv 3P\bmod 17 \end{align*}$ .

Zunächst geben wir Zahlvarianten für die 17 aufeinander folgenden Werte $\begin{align*} P=191\ldots 207 \end{align*}$ an, die größeren $\begin{align*} P \end{align*}$ -Werte kann man dann durch Hinzufügen von 17-Talermünzen sicher erreichen:

$\begin{align*} \begin{array}{|r|r|r|r||r|}\hline P & x & y & z & (y-z)\\ \hline 191 & 3 & 0 & 5 & -5\\ 192 & 8 & 0 & 2 & -2\\ 193 & 10 & 1 & 0 & 1\\ 194 & 6 & 4 & 0 & 4\\ 195 & 2 & 7 & 0 & 7\\ 196 & 0 & 0 & 7 & -7\\ 197 & 5 & 0 & 4 & -4\\ 198 & 10 & 0 & 1 & -1\\ 199 & 9 & 2 & 0 & 2\\ 200 & 5 & 5 & 0 & 5\\ 201 & 1 & 8 & 0 & 8\\ 202 & 2 & 0 & 6 & -6\\ 203 & 7 & 0 & 3 & -3\\ 204 & 12 & 0 & 0 & 0\\ 205 & 8 & 3 & 0 & 3\\ 206 & 4 & 6 & 0 & 6\\ 207 & 0 & 9 & 0 & 9\\ \hline\end{array} \end{align*}$

Bleibt noch der Nachweis, dass $\begin{align*} P=190 \end{align*}$ nicht als $\begin{align*} P=17x+23y+28z \end{align*}$ darstellbar ist, und der erfolgt indirekt: Angenommen, es gibt doch so eine Darstellung. Dann haben wir (s.o.) $\begin{align*} y-z\equiv 3\cdot 190\equiv 9\bmod 17 \end{align*}$ . Das bedeutet entweder $\begin{align*} y\geq z+9\geq 9 \end{align*}$ , was wegen $\begin{align*} 23y\geq 207 \end{align*}$ nicht sein kann, oder aber $\begin{align*} z\geq y+8\geq 8 \end{align*}$ , was wegen $\begin{align*} 28z\geq 224 \end{align*}$ ebenfalls nicht klappt.

@DrummerS

Dein Beitrag ist schwierig zu verstehen, da du deine Symbolik nicht ordentlich erklärst: Was z.B. ist $\begin{align*} P(n) \end{align*}$ ?

Ist das die Menge aller möglichen Werte $\begin{align*} 17x+23y+28z \end{align*}$ mit der Eigenschaft $\begin{align*} x,y,z\in\mathbb{N}_0,\; x+y+z=n \end{align*}$ ?

Und im weiteren Fortgang wird die $\begin{align*} P(\ldots) \end{align*}$ -Symbolik immer abenteuerlicher, die "Gleichungen" wie z.B. $\begin{eqnarray*} P\left(n\geq 17, y=0,z=6\right)=P\left(n\geq 17, y=11,z=0\right) \end{eqnarray*}$ jedenfalls für mich nicht mehr nachvollziehbar. Erstaunt1

09.03.2017, 01:51

DrummerS

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@ Hal 9000

Danke für deine (Auf)Lösung und die investierte Zeit. Ich werde mich demnächst noch mit Kongruenz (Zahlentheorie) beschäftigen, um deine Lösung zu verstehen. Zunächst versuche ich, meine ungenauen Angaben zu präzisieren:

Zitat:

Original von HAL 9000

Was z.B. ist $\begin{align*} P(n) \end{align*}$ ?

Ist das die Menge aller möglichen Werte $\begin{align*} 17x+23y+28z \end{align*}$ mit der Eigenschaft $\begin{align*} x,y,z\in\mathbb{N}_0,\; x+y+z=n \end{align*}$

Genauso war es gemeint - von mir leider falsch formuliert - nun also richtig: $\begin{align*} n(x,y,z) = x + y + z \end{align*}$ mit $\begin{align*} n \in \mathbb N \end{align*}$ und $\begin{align*} n,x,y,z \in \mathbb N_0 \end{align*}$ .

Die nachfolgenden Tabelle soll erklären, wie die Anzahl an Möglichkeiten für die Wertebelegung von $\begin{align*} x,y \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ berechnet wurde.

Das $\begin{align*} V[y] \end{align*}$ steht für die Anzahl an natürlichen Zahlen, mit denen $\begin{align*} y \end{align*}$ belegt werden kann. Die Werte für $\begin{align*} z \end{align*}$ ergeben sich dann zwingend aus $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ .

$\begin{align*} \begin{array}{|r|r|r|r|}\hline n & x & V[y] & z \\ \hline 1 & 0 & 2 & n-x-y \\ 1 & 1 & 1 & n-x-y \\ 2 & 0 & 3 & n-x-y \\ 2 & 1 & 2 & n-x-y \\ 2 & 2 & 1 & n-x-y \\ 3 & 0 & 4 & n-x-y \\ 3 & 1 & 3 & n-x-y \\ 3 & 2 & 2 & n-x-y \\ 3 & 3 & 1 & n-x-y \\ 4 & 0 & 5 & n-x-y \\ 4 & 1 & 4 & n-x-y \\ 4 & 2 & 3 & n-x-y \\ 4 & 3 & 2 & n-x-y \\ 4 & 4 & 1 & n-x-y \\ 5 & 0 & 6 & n-x-y \\ ... & ... & ... & ... \\ \hline\end{array} \end{align*}$

Aus den Tabellenwerten lässt sich $\begin{align*} \sum V[y]_{n=konstant} = 1+2+...+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{align*}$ ableiten.
Würde $\begin{align*} n \end{align*}$ willkürlich festgelegt, dann ergäbe der vorgenannte Ausdruck die Anzahl an Möglichkeiten für die Wertebelegung von $\begin{align*} x,y \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ für genau dieses $\begin{align*} n \end{align*}$ .

Der mögliche Wertebereich (als "Zahlenbereich" in meinem vorherigen Post bezeichnet) von $\begin{align*} P \end{align*}$ für ein willkürlich festgelegtes $\begin{align*} n \end{align*}$ ist dann $\begin{align*} P(x=n,y=0,z=0) \leq P(x,y,z) \leq P(x=0,y=0,z=n) \end{align*}$ .

Die zuvorgenannte Ungleichung ist dann ausgeschrieben: $\begin{align*} 17n \leq P(x,y,z) \leq 17n+11n \end{align*}$ , da ja $\begin{align*} P = 17n+6y+11z \end{align*}$ .

Zitat:

Original von HAL 9000
...,die "Gleichungen" wie z.B. $\begin{eqnarray*} P\left(n\geq 17, y=0,z=6\right)=P\left(n\geq 17, y=11,z=0\right) \end{eqnarray*}$ jedenfalls für mich nicht mehr nachvollziehbar. Erstaunt1

Deine Verwirrung kann ich verstehen. Eigentlich war $\begin{align*} P\left(x, y=0,z=6\right)=P\left(x, y=11,z=0\right) \end{align*}$ gemeint, was ausgeschrieben $\begin{align*} 17n+11*6 = 17n+6*11 \end{align*}$ bedeutet.

Hiernach wollte ich ausdrücken, dass paarweise gleiche Ergebnisse sich auch bilden lassen, wenn $\begin{align*} x+y+z=n \end{align*}$ und $\begin{align*} y=z \end{align*}$ erfüllt sind, z.B. bei $\begin{align*} P\left(x_{1}, y_{1},z_{1}\right)=P\left(x_{1}+2, y_{1}-1,z_{1}-1\right) \end{align*}$ .

Sind meine Ausführungen nun besser nachvollziehbar?

Bisher habe ich es noch nicht geschafft, dass Zuvorgenannte in einer Formel unterzubringen. Vielleicht hat ja jemand eine Idee... smile

09.03.2017, 11:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von DrummerS
Eigentlich war $\begin{align*} P\left(x, y=0,z=6\right)=P\left(x, y=11,z=0\right) \end{align*}$ gemeint, was ausgeschrieben $\begin{align*} 17n+11*6 = 17n+6*11 \end{align*}$ bedeutet.

Hmm, also eigentlich meinst du da aber $\begin{align*} P(n,y=0,z=6)=P(n,y=11,z=0) \end{align*}$ , was (wenn ich deine Symbolik nun richtig verstehe) auch als $\begin{align*} P(x=n-6,y=0,z=6)=P(x=n-11,y=11,z=0) \end{align*}$ geschrieben werden kann.

Bei Schreibweise $\begin{align*} P(x,y=0,z=6) \stackrel{?}{=} P(x,y=11,z=0) \end{align*}$ würde ich davon ausgehen, dass du auf beiden Seiten dieselbe Anzahl $\begin{align*} x \end{align*}$ an 17-Talermünzen meinst - was hier aber nicht der Fall ist: Denn das entspräche den beiden Geldwerten $\begin{align*} 17x+168\neq 17x+253 \end{align*}$ . Augenzwinkern

Es sind diese Art Irritationen, die ich meine. Inhaltlich kann ich deinen Ausführungen leider nicht entnehmen, wie die ans Ziel führen sollen, d.h., echte Nachweise dass diese oder jene Zahl so wie gewünscht darstellbar ist. verwirrt

09.03.2017, 18:32

DrummerS

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Upps - richtig, das von dir Vorgeschlagene war gemeint: $\begin{align*} P(x=n-6,y=0,z=6)=P(x=n-11,y=11,z=0) \end{align*}$ smile

. Nach längerem Probieren auf Grundlage meines Ansatzes bin ich der richtigen Lösung, die du ja gepostet hast, leider nicht näher gekommen. Daher werde ich nun abbrechen. Danke nochmals für die Unterstützung Freude

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