Endomorphismus injektiv gdw surjektiv (endl Basis) |
| 03.07.2016, 16:14 | fragent | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Endomorphismus injektiv gdw surjektiv (endl Basis) ich möchte den Satz beweisen, dass jeder Endomorphismus f zwischen V und V (wobei V ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum) injektiv genau dann wenn surjektiv ist. Es wurde der Tipp gegeben, man kann die Dimensionsformel benutzen: dim(V) = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) Ok ich versuche diese Richtung zunächst: Ich nehme an f sei injektiv, dann weiß ich, dass Kern(f) ={0}, also dim(Kern(f))=0 Jetzt weiß ich dimV = dim Bild f, wie hilft mir das weiter, um Surjektvität zu zeigen. Also für alle y aus V gibt es x aus V, sd f(x)=y Grüße... und danke für einen kleinen Hinweis, der mir wohl gerade fehlt... |
||
| 03.07.2016, 16:42 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Endomorphismus injektiv gdw surjektiv (endl Basis) Was bedeutet denn die Gleichung für das Bild von f unter Berücksichtigung der Tatsache, dass wir es mit einem Endomorphismus zu tun haben? |
||
| 03.07.2016, 16:53 | fragent | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bild f ist ja erstmal eine Teilmenge der Zielmenge, also hier wieder V. Eigentlich ist Bild f sogar immer ein Untervektorraum der Zielmenge. Das heißt der Unter-Vektorraum Bild(f) hat diesselbe Dimension wie der ganze Vektorraum V... Jetzt soll zur Surjektivität wegen sogar Bild(f) = V sein! Ist das die Idee? Das wäre mir aber nicht klar, warum sogar die Gleichheit dann gelten soll... |
||
| 03.07.2016, 18:24 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wieviele Unterräume mit derselben Dimension wie der Vektorraum gibt es denn? Nehmen wir mal als Beispiel den . Wieviele 2-Dimensionale Unterräume besitzt er und wie sehen die aus? |
||
| 03.07.2016, 21:14 | fragent | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok da seh ich klar ein, dass irgendwelche zwei lin unabhängige Vektoren des R^2 den ganzen R^2 aufspannen (anschalulich auf jeden Fall). Allgemein soll also gelten? V ein VR mit dimV= n und W ein n-dimensionaler Untervektorraum von V, dann gilt V = W (wirklich gleich) ?! Vielleicht ist das eigentlich ganz klar, aber mir ist das allgemein / abstrakt nicht ganz klar. Sorry wenn ich da vielleicht umständlich bin und danke für deine nette Hilfe. |
||
| 03.07.2016, 23:06 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, für endlich-dimensionale VR ist das immer gültig. Vielleicht hilft Dir das Stichwort Basisaustauschsatz beim Verständnis etwas weiter. |
||
| Anzeige | ||
|
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
