[Funktionalanalysis] Was bedeutet "fundamental in C[0,1]"?

03.07.2016, 20:55

Jelena Fischer

[Funktionalanalysis] Was bedeutet "fundamental in C[0,1]"?

Hallo, ich habe eine kurze Frage: In einem Text, den ich gerade durcharbeite steht "Since $\begin{align*} \{e_k \mid k \in \mathbb Z\} \end{align*}$ is fundamental in $\begin{align*} C[0,1] \end{align*}$ , we conclude that ... (and so on)

Dabei ist $\begin{align*} e_k(t) = e^{2\pi i k t} \end{align*}$ . Meine Frage ist: Was bedeutet fundamental in diesem Zusammenhang? Kann mir jemand eine/die Definition sagen?

03.07.2016, 23:40

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jelena,

könntest du etwas mehr Textkontext geben bitte? Ich habe diesen Begriff noch nicht gehört, aber aus dem Zusammenhang kann man dir sicher besser sagen, was damit gemeint sein könnte.

04.07.2016, 05:50

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich tippe auf: Abzählbar und dicht. Im Notfall noch linear unabhängig Augenzwinkern

04.07.2016, 09:29

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Sinngemäß würde ich übersetzen:
Weil $\begin{eqnarray*} \{e^{2\pi ikt}\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} C[0;1] \end{eqnarray*}$ ein Fundamentalsystem ist, schließen wir, dass...

04.07.2016, 10:13

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Ich tippe auf: Abzählbar und dicht. Im Notfall noch linear unabhängig Augenzwinkern

Das dachte ich auch zuerst, dann ist mir aufgefallen, dass das garnicht richtig ist, nichtmal wenn man zum Aufspann übergeht, weil nirgendwo die Rede von periodischen Funktionen ist. Augenzwinkern

04.07.2016, 12:10

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Span habe ich mir wohl zugedacht -- ansonsten wirkt die Menge "bedeutungslos". Aber komplett übersehen, dass uns dann immer noch ein weitere Funktion in der Menge fehlt, damit es dann stimmt. Freude

04.07.2016, 13:08

Jelena Fischer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen, erstmal vielen Dank für eure Hilfe! smile

Der komplette Kontext ist folgendermaßen: Der Autor definiert ein Funktional $\begin{eqnarray*} L : C([0,1]) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} L = 0 \end{eqnarray*}$ . Dies tut er, indem er zeigt, dass $\begin{eqnarray*} L(e_k) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Dann schreibt er " ... since $\begin{eqnarray*} \{e_k \mid k \in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$
is fundamental in $\begin{eqnarray*} C([0,1]) \end{eqnarray*}$ we conclude that $\begin{eqnarray*} L = 0 \end{eqnarray*}$ ."

Hier noch die genaue Definition von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} L(g) = \int_0^1 g(x)(F(x) - 1) \, dx \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} F(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty |\hat\phi(t+n)|^2 \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \phi \in L^2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \hat\phi \end{eqnarray*}$ ist die Fouriertransformierte von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . (Es ist $\begin{eqnarray*} F|_{[0,1]} \in L_1(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ , daher existiert das obige Integral.)

05.07.2016, 02:23

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Was der Begriff genau bedeuten soll, kann ich dir immernoch nicht sagen, aber richtig ist die Aussage aus dem folgenden Grund:

Der Aufspann der $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ liegt bezüglich der $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -Norm dicht in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ . Insbesondere kann man jede stetige Funktion (die ja in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ liegt) durch Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ approximieren. Die Integration gegen $\begin{eqnarray*} F-1 \end{eqnarray*}$ ist ein stetiges Funktional auf $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ , deswegen reicht das dann schon.

05.07.2016, 12:58

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff muss sich also auf L^2 beziehen. Mal ein kleines Beispiel: Definiert man $\begin{eqnarray*} L : C^0([0,1]) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} L(f) = f(1) - f(0) \end{eqnarray*}$ (, d.h. $\begin{eqnarray*} L = \delta_1 - \delta_0 \end{eqnarray*}$ ) so ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ eine stetige, lineare Abbildung, aber es hätte nicht gereicht mit der Menge zu testen.

Neue Frage »

Antworten »

[Funktionalanalysis] Was bedeutet "fundamental in C[0,1]"?

Verwandte Themen