Warum hat der kommutative Ring aller Funktionen von R nach R keinen Quotientenkörper?

05.07.2016, 14:35	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum hat der kommutative Ring aller Funktionen von R nach R keinen Quotientenkörper? Meine Frage: Hallo Ich wollte wissen, ob mir jemand erklären kann, warum der kommutative Ring aller Funktionen von R nach R keinen Quotientenkörper besitzt? Kann mir jemand ein Gegenbeispiel oder eine Erklärung dafür liefern? Meine Ideen: Ich habe mir gedacht, dass der kommutative Ring aller Funktionen von R nach R sicher kein Integritätsbereich sein kann, sonst könnte man einen Quotientenkörper bilden. Im Gegensatz dazu, habe ich mir überlegt, warum dann der kommutative Ring aller Polynomfunktionen ein Integritätsbereich ist (hat Quotientenkörper der rationalen Funktionen). Das ist so, weil eine Polynomfunktion, welche nicht die Nullfunktion ist, nur endlich viele Nullstellen besitzten kann, ergo kann das Produkt zweier Polynomfunktionen, welche nicht die Nullfunktion sind, auch nur endlich viele Nullstellen haben (Vereinigung der Nullstellenmengen) und damit ist das Kriterium a ungleich 0, b ungleich 0 ab ungleich 0, bzw. ab=0, entweder a=0 oder b=0 erfüllt. Aber wie kann ich das nun für den kommutativen Ring aller Funktionen von R nach R beweisen? Kann mir das jemand erklären oder mir ein Beispiel dafür nenne? Danke, das wäre echt super
05.07.2016, 16:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum hat der kommutative Ring aller Funktionen von R nach R keinen Quotientenkörper? Du musst zwischen abstrakten Polynomen und Polynomfunktionen unterscheiden. So ist $\begin{eqnarray} f(X) = X^2 - X \end{eqnarray}$ nicht das Nullpolynom. Auch nicht über $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} f(0) = f(1) = 0 \end{eqnarray}$ und ausgewertet sich so verhält wie das Nullpolynom. Deshalb ist das Produkt des Polynoms $\begin{eqnarray} g(X) = X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(X) = X-1 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} g \cdot h(X) = X^2 - X = f(X) \end{eqnarray}$ und in dem Sinne sind $\begin{eqnarray} g, h \end{eqnarray}$ keine Nullteiler. Im anderen fasst du die Funktionen wirklich das etwas nicht abstraktes auf, und daher gibt es Probleme. Die Multiplikation ist punktweise definiert -- also dort ist wirklich nach der Auswertung gefragt. Also gibt es Nullteiler und damit ist es eine große Katastrophe. (Warnung: Bin kein Algebraiker, daher keine Garantie auf die Antwort.)
10.07.2016, 15:36	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum hat der kommutative Ring aller Funktionen von R nach R keinen Quotientenkörper? Vielen Dank für deine Antwort Ich verstehe leider nicht ganz was du mit "und daher gibt es [bei Polynomfunktionen] Probleme" genau meinst. Kannst du mir ein Konkretes Beispiel machen? Kann ich beispielweise Funktionen von Restklassenringen als Beispiel für Funktionen des kommutativen Rings aller Funktionen von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gelten lassen? Denn der Restklassenring ist ja in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ enthalten und mit den definierten Rechenoperationen auch kommutativ. Dann könnte ich nämlich zeigen, dass die Beispielfunktion R\IxR\I --> R\I (a,b) --> ab Gleich 0 werden kann, auch wenn weder a noch b gleich 0 sind. Zum Beispiel im Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{10} \end{eqnarray}$ wäre 52=10=0, obwohl 2 und 5 nicht 0 sind. Dies würde der Definition eines Integritätsbereichs widersprechen und daher kann der kommutative Ring aller Funktionen von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ keinen Quotientenkörper besitzen. Ginge das? Vielen Dank! LG
10.07.2016, 17:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein einfaches Beispiel für Nullteiler sind $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\to \mathbb R,f(x)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\le 0, f(x)=1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g:\mathbb R\to \mathbb R,g(x)=1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\le 0, g(x)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (f\cdot g)(x)=0 (\forall x\in\mathbb R) \end{eqnarray}$ . Auf Restklassenringe oder endliche Körper muss man dabei gar nicht ausweichen.
10.07.2016, 21:10	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke!!
11.07.2016, 11:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe auch nicht warum es sinnvoll wäre Restklassenringe zu betrachten. So besitzt $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ den Quotientenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , der Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist sein Quotientenkörper, und $\begin{eqnarray} \mathbb Z/ 4 \mathbb Z \end{eqnarray}$ besitzt keinen. Das einzige was ich als wahr einschätzen würde, ist die Folgerung $\begin{eqnarray} R / I \end{eqnarray}$ besitzt einen Quotientenkörper, dann tut es auch $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Aber die Einschätzung ist nicht viel wert, weil ich einfach nur den einen Fall genommen habe, der funktionieren könnte -- aber sicher nicht muss. Edit: Sei $\begin{eqnarray} X = \mathbb Z / 4\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Dann besitzt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ keinen Quotientenkörper, aber $\begin{eqnarray} X / 2X \sim \mathbb Z/ 2\mathbb Z \end{eqnarray}$ schon.
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