Substitution bei Integral nicht durchführbar?

06.07.2016, 14:16

balance

Substitution bei Integral nicht durchführbar?

Edit: Ups, falsches Subforum... bitte verschieben, danke.

Hallo,

Berechne $\begin{eqnarray*} \int_1^e\frac{3-2ln(x)}{x\sqrt{1-ln(x)}}dx \end{eqnarray*}$

Lösung:

Wir machen ne Substitution: $\begin{eqnarray*} ln(x)=t \Rightarrow dx=e^tdt \Rightarrow x=e^t \end{eqnarray*}$ wobei für die Grenzen gilt: $\begin{eqnarray*} ln(e)=1 \Rightarrow \text{obere}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln(1)=0 \Rightarrow \text{untere}=0 \end{eqnarray*}$

Wir bekommen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{3-2t}{\sqrt{1-t}}dt=3\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{t}^2}}dt-2\int_0^1\frac{t}{\sqrt{1-t}}dt=3\big[\arcsin(\sqrt{t})\big]_0^1-2\int_0^1\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}}=3\big[\arcsin(\sqrt{t})\big]_0^1-2\big[arccosh(\frac{1}{t}\big]_0^1 \end{eqnarray*}$

Nun:
$\begin{eqnarray*} 3\big[\arcsin(\sqrt{t})\big]_0^1=3\arcsin(1)-3\arcsin(0)=3(\pi/2-0)=\frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\big[arccosh(\frac{1}{t}\big]_0^1=2(arccosh(\frac{1}{0})-arccosh(1))=BOOOOM!!! \end{eqnarray*}$

... seht ihr? Es explodiert :/ Entweder ich hab irgendwo einen Fehler oder aber ich sollte es anderst lösen. (Das es andere Wege gibt ist mir klar.) Der Eigentliche Wert ist übrigens 10/3.

Nun, meine Frage ist eigentlich nur: Hab ich alles korrekt gemacht? Ausserdem, woring gründet die Tatsache, dass es mittels dieser Substitution anscheinent nicht klappt?

06.07.2016, 14:47

klarsoweit

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RE: Substitution bei Integral nicht durchführbar?
Grundsätzlich hattest du von Anfang an ein uneigentliches Integral, wo der Integrand an der unteren Grenze nicht definiert ist. Ich würde daher eher als untere Grenze die Variable a wählen und später den Grenzwert a gegen 1 bilden.

Nach der Substitution hast du ziemlich rustikal integriert. Bilde doch mal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} arcsin(\sqrt t) \end{eqnarray*}$ . smile

06.07.2016, 17:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nach der Substitution hast du ziemlich rustikal integriert.

Das kann man wohl sagen. Augenzwinkern

Die leicht veränderte Substitution $\begin{align*} u=1-\ln(x) \end{align*}$ (in dem Sinne dann $\begin{align*} u=1-t \end{align*}$ mit dem $\begin{align*} t \end{align*}$ von balance) bringt Licht in die Angelegenheit:

$\begin{align*} \int\limits_1^e \frac{3-2\ln(x)}{x\sqrt{1-\ln(x)}} ~ \dd x = -\int\limits_1^0 \frac{1+2u}{\sqrt{u}} ~ \dd u = \int\limits_0^1 \left( u^{-1/2}+2u^{1/2} \right) ~ \dd u \end{align*}$ .

06.07.2016, 21:13

balance

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hmm, stimmt - irgendwie hätte ich das mal genauer anschauen sollen dann hätte ich gesehen dass es uneigentlich ist. Wobei es in der Lösung einfach mittels part. Integratio ngelöst wird.

Heisst das, es gibt uneigentliche Integrale die "normal" lösbar sind?

Und wieso die die Integration rustikal? ^^ Aber ja, ich werds mir nochmal anschauen und die Ableitung von arcsin bilden.

Danke

Edit: böse mod! So einen originellen Titel ändern Tanzen

Der Titel Hilfe! Mein Integral explodiert! mag in der Tat originell sein und erregt bestimmt Aufmerksamkeit. Aber wir sind hier schließlich nicht auf RTL2....

Viele Grüße
Steffen (der Böse)

06.07.2016, 22:14

HAL 9000

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Off-topic

Interessante Identität zum Integrationsversuch: Für alle $\begin{align*} 0\leq t\leq 1 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \arcsin\left(\sqrt{t}\right) = \frac{1}{2}\arccos(1-2t) \end{align*}$ .

06.07.2016, 23:24

Leopold

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Beide Seiten liefern für $\begin{align*} t=0 \end{align*}$ den Wert 0. Man könnte jetzt die Gleichheit der Ableitungen überprüfen. Es geht aber auch ganz ohne Differentialrechnung:

$\begin{align*} 2 \arcsin \left( \sqrt{t} \right) = \arccos \left( 1 - 2t \right) \, , \ \ t \in [0,1] \end{align*}$

Die Werte beider Seiten liegen im Intervall $\begin{align*} [0,\pi] \end{align*}$ . In diesem Intervall ist der Cosinus umkehrbar. Also lassen wir ihn auf die Gleichung los und formen somit äquivalent um:

$\begin{align*} \cos \left( 2 \arcsin \left( \sqrt{t} \right) \right) = \cos \left( \arccos \left( 1 - 2t \right) \right) \end{align*}$

Links verwenden wir $\begin{align*} \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \end{align*}$ und erhalten insgesamt:

$\begin{align*} 1 - 2 \left( \sqrt{t} \right)^2 = 1 - 2t \end{align*}$

Und das ist offenbar wahr. Und da alle Schritte umkehrbar sind, ist auch die erste Gleichung wahr.

Hinter der Formel verbirgt sich sozusagen die Formel für den Cosinus des doppelten Arguments, in die Arcussprache übersetzt.