Doppelkopf - Wahrscheinlichkeit für zwei Kreuzdamen (Laplace)

06.07.2016, 17:30

Phanta

Doppelkopf - Wahrscheinlichkeit für zwei Kreuzdamen (Laplace)

Beim Doppelkopf-Spiel wird ein Kartenspiel mit 48 Karten durchgemischt, und es werden an vier Spieler je zwölf Karten verteilt. Acht der 48 Karten heißen "Damen", zwei der acht Damen heißen "Kreuz-Damen". Man berechne unter der Laplace-Annahme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

c) Zwei Spieler erhalten je eine Kreuz-Dame und mindestens zwei weitere Damen.

Hallo,

ich habe etwas Schwierigkeiten beim Lösen der Aufgabe. Ich bin auch nicht ganz sicher, wie ich anfangen soll. Folgende Überlegungen hatte ich bisher:

Es ist $\begin{eqnarray*} \binom{2}{1} \end{eqnarray*}$ Anzahl d.Möglichkeiten für die Kreuz-Dame je Spieler. $\begin{eqnarray*} \binom{6}{2} \end{eqnarray*}$ Anzahl d.Möglichkeiten für genau 2 Damen aus den verbleibenden 6 Damen. Für die restlichen Karten hat man $\begin{eqnarray*} \binom{40}{9} \end{eqnarray*}$ mögliche Anordnungen.

Also gilt für einen Spieler, wenn er genau 1 Kreuzdame und genau 2 weitere Damen auf der Hand halten soll:

$\begin{eqnarray*} \binom{2}{1} \binom{6}{2}\binom{40}{9} \end{eqnarray*}$

Da wir die Wahrscheinlichkeit suchen, dass (zunächst) ein Spieler mindestens zwei weitere Damen und nicht genau zwei weitere Damen hält, muss ich doch die weiteren Möglichkeiten hinzuaddieren, so dass

$\begin{eqnarray*} \binom{2}{1} \binom{6}{2}\binom{40}{9}+\binom{2}{1} \binom{6}{3}\binom{40}{8} + \binom{2}{1} \binom{6}{4}\binom{40}{7} \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Möglichkeiten, dass ein Spieler genau eine KreuzDame und mindestens zwei weitere Damen bekommt.

Sind meine Überlegungen bisher richtig? Oder habe ich irgendwas wichtiges ausgelassen? Ich habe den letzten Summanden nur bis $\begin{eqnarray*} \binom{6}{4} \end{eqnarray*}$ geführt, weil 5 Damen ja ausgeschloßen sind. Sonst bliebe für Spieler 2 nur noch eine Dame übrig.

Kann ich denn einfach die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass ein beliebiger Spieler genau eine KreuzDame und mindestens zwei weitere Damen erhält und diese dann mit 2 multiplizieren? Reicht es, wenn ich meine obige Summe durch $\begin{eqnarray*} \binom{48}{12}\binom{36}{12} \end{eqnarray*}$ teile? Ich bin mir wirklich unsicher.

Freue mich über jeden Hinweis!

LG
Phanta

06.07.2016, 18:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phanta
Da wir die Wahrscheinlichkeit suchen, dass (zunächst) ein Spieler mindestens zwei weitere Damen und nicht genau zwei weitere Damen hält, muss ich doch die weiteren Möglichkeiten hinzuaddieren, so dass

$\begin{eqnarray*} \binom{2}{1} \binom{6}{2}\binom{40}{9}+\binom{2}{1} \binom{6}{3}\binom{40}{8} + \binom{2}{1} \binom{6}{4}\binom{40}{7} \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Möglichkeiten, dass ein Spieler genau eine KreuzDame und mindestens zwei weitere Damen bekommt.

Bis hierhin soweit richtig, aber:

Diese Summe nützt dir zwar was bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spieler die genannte Bedingung erfüllt, aber nicht bei der Bestimmung der gemeinsamen Wahrscheinliichkeit für beide Spieler: Je nachdem, wie viele zusätzliche Damen der erste Spieler erhält, verschiebt sich nämlich die bedingte (!) Wahrscheinlichkeit für das Blatt des zweiten Spielers!

Am Beispiel: Es gibt insgesamt $\begin{align*} \binom{48}{12}\cdot \binom{36}{12} \end{align*}$ mögliche Blattverteilungen an die beiden Spieler (d.h. der Nenner des Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsbruches).

Günstig für "erster Spieler 1 Kreuzdame, 2 weitere Damen + zweiter Spieler 1 Kreuzdame, 2 weitere Damen" sind davon

$\begin{align*} \binom{2}{1}\binom{6}{2}\binom{40}{9}\cdot \binom{1}{1}\binom{4}{2}\binom{31}{9} \end{align*}$

Varianten. Betrachten wir hingegen "erster Spieler 1 Kreuzdame, 3 weitere Damen + zweiter Spieler 1 Kreuzdame, 2 weitere Damen", dann hat das nicht nur Einfluss auf die Anzahl der Blätter für den ersten Spieler, sondern dann auch für den zweiten Spieler, die Anzahl ist dann nämlich

$\begin{align*} \binom{2}{1}\binom{6}{{\color{red}3}}\binom{40}{{\color{red}8}}\cdot \binom{1}{1}\binom{{\color{red}3}}{2}\binom{{\color{red}32}}{9} \end{align*}$ .

Es gibt hier also enorme Abhängigkeiten zu beachten. Wenn ich oben sage "die Summe nützt nichts", so gilt dies aber nicht für die Summanden - diese müssen nur mit jeweils anderen Faktoren weiterverarbeitet werden, dazu nützen sie schon. Augenzwinkern

06.07.2016, 19:27

Phanta

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Hallo HAL 9000!

vielen Dank für die hilfreiche Rückmeldung. Hast mir schon sehr geholfen.

Wenn ich das richtig verstanden hab, müsste dann der gesuchte günstige Fall "erster Spieler 1 Kreuzdame, mindestens 2 weitere Damen + zweiter Spieler 1 Kreuzdame, mindestens 2 weitere Damen" sich zusammensetzen zu

$\begin{eqnarray*} \binom{2}{1}\binom{6}{2}\binom{40}{9}\binom{1}{1}\binom{4}{2}\binom{31}{9} + \binom{2}{1}\binom{6}{3}\binom{40}{8}\binom{1}{1}\binom{3}{2}\binom{32}{9}+\binom{2}{1}\binom{6}{4}\binom{40}{7}\binom{1}{1}\binom{2}{2}\binom{33}{9} \end{eqnarray*}$

stimmt das so etwa? smile

Vielen Dank für die Hilfe!

LG
Phanta

06.07.2016, 19:36

HAL 9000

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Nach den "Zusatzdamen" gruppiert hast du jetzt die drei Fälle

2+2, 3+2, 4+2

erfasst. Da fehlen doch noch ein paar Fälle, oder? Augenzwinkern

06.07.2016, 19:58

Phanta

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Ach, stimmt!

dann addieren sich noch die Fälle 2+2, 2+3, 2+4 hinzu. Das ganze durch $\begin{eqnarray*} \binom{48}{12} \end{eqnarray*}$ müsste dann eigentlich die gesuchte Wahrscheinlichkeit liefern. Fehlt noch was? Ich wäre ohne Hilfe echt nicht weit gekommen - hab's aber wirklich gut verstanden mit Hilfe deiner Hinweise.

Vielen Dank nochmal für Deine Zeit :-)

06.07.2016, 20:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Phanta
dann addieren sich noch die Fälle 2+2, 2+3, 2+4 hinzu.

Nicht ganz: 2+2 hast du schon, dafür fehlt 3+3.

Wobei du die Fälle 2+3 und 2+4 nicht neu berechnen musst, denn die Anzahlen entsprechen aus Symmetriegründen denen der Fälle 3+2 sowie 4+2, du musst diese beiden berechneten Teilanzahlen also jeweils nur doppelt in die Gesamtsumme eingehen lassen. Der letzte Fall 3+3 muss indes neu berechnet werden. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Phanta
Das ganze durch $\begin{eqnarray*} \binom{48}{12} \end{eqnarray*}$ müsste dann eigentlich die gesuchte Wahrscheinlichkeit liefern.

Na eher durch $\begin{align*} \binom{48}{12}\cdot \binom{36}{12} \end{align*}$ (s.o.), es geht ja um die Kartenverteilungen an beide Spieler. Augenzwinkern

06.07.2016, 20:20

Phanta

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Phanta
dann addieren sich noch die Fälle 2+2, 2+3, 2+4 hinzu.

Richtig. Wobei du die Fälle 3+2 und 4+2 nicht neu berechnen musst, denn die Anzahlen entsprechen aus Symmetriegründen denen der Fälle 3+2 sowie 4+2, du musst diese beiden berechneten Teilanzahlen also jeweils nur doppelt in die Gesamtsumme eingehen lassen. Der letzte Fall 3+3 muss indes neu berechnet werden. Augenzwinkern

stimmt! danke für den hinweis Freude

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Phanta
Das ganze durch $\begin{eqnarray*} \binom{48}{12} \end{eqnarray*}$ müsste dann eigentlich die gesuchte Wahrscheinlichkeit liefern.

Na eher durch $\begin{align*} \binom{48}{12}\cdot \binom{36}{12} \end{align*}$ (s.o.), es geht ja um die Kartenverteilungen an beide Spieler. Augenzwinkern

Achja, natürlich. Das hatte ich ganz vergessen. Aber stimmt natürlich.
Super!

Danke, HAL! Hast mir wirklich sehr geholfen. Freude

Schönen Abend!
LG,
Phanta

06.07.2016, 20:23

HAL 9000

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Ich hatte mich etwas verlesen in deinem Beitrag (3+3 statt 2+2) - bitte beachte die Änderungen!

06.07.2016, 20:52

Phanta

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Danke, hab ich zur Kenntnis genommen.
Ich war mir tatsächlich etwas unsicher, ob der Fall 2+2 nur einfach gezählt wird. Aber macht natürlich Sinn.

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