Ordnung der Gruppe GL(n,q) über endlichem Körper

06.07.2016, 23:12

allahahbarpingok

Ordnung der Gruppe GL(n,q) über endlichem Körper

Hallo,

ich verstehe nicht wie ich auf die Formel für die Ordnung der Gruppe GL(n,q) über endlichem Körper komme: $\begin{eqnarray*} \prod \limits_{i=0}^{n-1} (q^n - q^i) \end{eqnarray*}$

Nehmen wir als Beispiel den endlichen Körper mit 2 Elementen und den 2x2-Matrizen. Die Ordnung von GL(2,2) ist gerade die Anzahl der invertierbaren Matrizen. Eine Matrix ist invertierbar wenn sie vollen Rang besitzt, also die Spalten linear unabhängig sind. Für die 1. Spalte der 2x2-Matrix gibt es 2^2 Möglichkeiten - den Nullevektor (denn dieser ist immer linear abhängig). Für die nächste Spalte gibt es wieder 2^2 Möglichkeiten - die vielfachen der 1. Spalte.

Genau hier liegt mein Problem was sind die Vielfachen der 1. Spalte?

angenommen die 1. Spalte ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann wären die Vielfachen gerade:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

oder wie finde ich die Vielfachen? Meiner Argumentation nach würde mit jeder weiteren Spalte eine weitere Möglichkeit entfallen, was aber falsch ist.

06.07.2016, 23:29

tatmas

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Hallo,

ja das sind genau die Vielfachen.

Zitat:

Meiner Argumentation nach würde mit jeder weiteren Spalte eine weitere Möglichkeit entfallen, was aber falsch ist.

Welche Argumentation?
Und mit jeder weiteren entfallen mehr Möglichkeiten. Dafür ist hier ja das i da.

06.07.2016, 23:43

allahahbarpingok

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Naja schau: Wenn wir jetzt mal GL(3,3) betrachten und die erste Spalte mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fixxieren, dann gibt es laut obiger Formel für die zweite Spalte noch 3^3-3 = 24 Möglichkeiten. Dabei darf ich doch eigentlich nur

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und den Nullvektor für die zweite Spalte nicht verwenden? Irgendwo fehlt mir jetzt ein Vielfaches.

06.07.2016, 23:47

tatmas

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Du arbeitest jetzt ja im Körper mit drei Elementen.
Alsop musst du den Vektor nicht nur mit 0 und 1 sondern auch mit 2 (oder -1) multiplizieren.

07.07.2016, 15:53

allahahbarpingok

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Danke für den Hinweis. Das fehlende Vielfache ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Verknüpfungstabelle für die Multiplikation habe ich zuvor für $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 = \frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}} \end{eqnarray*}$ natürlich erstellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{ l| c r r} . & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \end{tabular} \end{eqnarray*}$

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