Exponentialfunktion innerhalb von Logarithmus

08.07.2016, 16:36

MatheDoof1

Exponentialfunktion innerhalb von Logarithmus

Meine Frage:
Ich stehe vor folgender Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0.8 = 1.013*(exp(3701.4*(\frac{1}{353.25}-\frac{1}{x}))+exp(4886.8*(\frac{1}{373.15}-\frac{1}{x}))) \end{eqnarray*}$

mit wolframalpha o.Ä. kriege ich die auch nach x aufgelöst. Wie kann ich diese Gleichung allerdings per Hand lösen?

Meine Ideen:
Natürlich kann ich den ln auf beiden Seiten anwenden, dann habe ich aber eine Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} ln(0.8) = ln(exp(ax) + exp(bx)) \end{eqnarray*}$

Da fehlt mir der Ansatz wie ich den rechten Logarithmus spalten kann.

08.07.2016, 16:49

HAL 9000

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Das wirst du wohl numerisch lösen müssen - eine explizite Auflösung nach x ist nicht drin.

Immerhin erkennt man, dass die Funktion

$\begin{align*} f(t) = \exp\left( 3701.4\cdot \left(\frac{1}{353.25} - t\right) \right) + \exp\left( 4886.8\cdot \left(\frac{1}{373.15} - t\right) \right) - \frac{0.8}{1.013} \end{align*}$

streng monoton fallend in $\begin{align*} t \end{align*}$ ist, und damit genau eine reelle Nullstelle hat (was dann auch genau eine reelle Lösung $\begin{align*} x \end{align*}$ deiner Gleichung bedeutet).

Zitat:

Original von MatheDoof1
$\begin{eqnarray*} ln(0.8) = ln(exp(ax) + exp(bx)) \end{eqnarray*}$

Sehe ich nicht so, dass das auf diese Weise umgeformt werden kann - selbst wenn du hier nicht $\begin{align*} x \end{align*}$ , sondern eine daraus transformierte Größe meinen solltest. Erstaunt1

08.07.2016, 16:50

Gast0807

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RE: Exponentialfunktion innerhalb von Logarithmus
Verwende ein Näherungsverfahren (z.B. Newton). Analytisch sehe ich keine Lösungsmöglichkeit.

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