Minima, Maxima

08.07.2016, 23:26

JFK-LAX

Minima, Maxima

Hallo zusammen,

es geht um diese Fkt. : $\begin{eqnarray*} z(x,y) = 4xy-2x^{2}-y^{4} \end{eqnarray*}$

Selbst getan habe ich :

$\begin{eqnarray*} z_{x} (x,y) = 4y-4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{y} (x,y) = 4x-4y^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{xx} = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{xy} = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{yx} = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{yy} = -12y^{2} \end{eqnarray*}$

Danach komme ich zu einem Widerspruch? bzw einer neuen Situation

4y-4x = 0 -> x=y

Hilfe wäre super Augenzwinkern

08.07.2016, 23:52

10001000Nick1

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Und wo genau siehst du da den "Widerspruch"?

09.07.2016, 02:15

JFK-LAX

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Ja, gute Frage

$\begin{eqnarray*} 4y- 4x= 0 \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

eingesetzt in die 2. nullgesetzte Gleichung von $\begin{eqnarray*} z_{y} \end{eqnarray*}$ welche da lautet

$\begin{eqnarray*} 4x- 4y^{3}= 0 \end{eqnarray*}$

ergibt dies $\begin{eqnarray*} x^{2}= 1 \end{eqnarray*}$ d.h. x1/2 = -1, 1

Ist das korrekt, würde man nun mit der Bedingung prüfen ?

09.07.2016, 08:25

10001000Nick1

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Erstmal hast du die Lösung $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ vergessen. Dann bestimmst du zu den drei x-Koordinaten die zugehörigen y-Werte (was aber wegen y=x nicht allzu schwierig ist Big Laugh

).

Die drei möglichen Punkte für Minima/Maxima sind also $\begin{eqnarray*} (-1,-1), (0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt musst du püfen, ob das tatsächlich Extrempunkte sind. Welche Bedingung meinst du? Es gibt da z.B. den Weg über die Definitheit der Hesse-Matrix (funktioniert hier).

09.07.2016, 11:02

JFK-LAX

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & 12y^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich 0 einsetze ergibt dies dann $\begin{eqnarray*} - 16 \end{eqnarray*}$ , wäre somit Maximum $\begin{eqnarray*} (\left(0,0,0\right) \end{eqnarray*}$ ?

Wir haben noch eine andere Methode kennengelernt :

$\begin{eqnarray*} | z_{xx} \cdot z_{yy}- z^{2}_{xy} | \end{eqnarray*}$

Ergebnis ist ja gleich, gibt es Fälle wo eine der beide Methoden eher zu empfehlen ist ?

09.07.2016, 22:32

10001000Nick1

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Schau dir nochmal an, wie man eine Matrix auf Definitheit überprüft. Nur die Determinante zu betrachten, reicht nicht.

09.07.2016, 23:09

JFK-LAX

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Abend. Danke für den Tipp/Hinweis.

Das heisst ich betrachte die -4 und komme zu dem Ergebnis dass beide Größen kleiner 0 sind und daher negative definitheit vorliegt ?!

10.07.2016, 11:42

10001000Nick1

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Nein.

Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn alle ungeraden Hauptminoren negativ und alle geraden Hauptminoren positiv sind.

Die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist indefinit (was noch zu begründen wäre). D.h. der Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist kein Extrempunkt.

10.07.2016, 13:58

JFK-LAX

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Handelt es sich dann um einen Sattelpunkt bei (0,0) ?

Da ich es gerade offensichtlich nicht ganz verstehe , gerader Hauptminor heisst hier was genau ?

10.07.2016, 17:36

10001000Nick1

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Richtig, der Punkt (0,0) ist ein Sattelpunkt.

Kleine Korrektur: Ich hätte oben besser sagen sollen:

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Eine symmetrische Matrix ist genau dann negativ definit, wenn alle ungeraden führenden Hauptminoren negativ und alle geraden führenden Hauptminoren positiv sind.

Was führende Hauptminoren sind, weißt du? Wenn nicht, helfen Google oder Wikipedia. Augenzwinkern

Das sind einfach Determinanten bestimmter Untermatrizen.

Und (un-)gerade führende Hauptminoren sind die Determinanten dieser Untermatrizen mit (un-)gerader Zeilen-/Spaltenzahl.

Z.B. ist der führende Hauptminor erster Ordnung (also ein ungerader Hauptminor) der Hessematrix im Punkt (0,0) $\begin{eqnarray*} |-4|=-4 \end{eqnarray*}$ .
Der führende Hauptminor zweiter Ordnung (gerader Hauptminor) ist $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}=-16 \end{eqnarray*}$ . Dieser gerade Hauptminor ist negativ, also kann die Matrix nicht negativ definit sein.

10.07.2016, 18:10

JFK-LAX

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Danke , das hilft mir sehr.

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