Multiplikativität der Teileranzahlfunktion nachweisen

10.07.2016, 11:14

forbin

Multiplikativität der Teileranzahlfunktion nachweisen

Hallo nochmal,

es soll nachgewiesen werden, dass eine Funktion F Multiplikativ ist.
F(n) gibt die Anzahl der ungeraden Teile von n an.
nun weiß ich, das gelten muss: f(1)=1.
dies ist hier erfüllt. Aber genügt das als Nachweis?

Und was muss ich machen wenn ich zeigen möchte, dass F stark Multiplikativ ist?
Ich finde dazu leider keine beispiele, um mich mal zu orientieren.

10.07.2016, 19:22

Elvis

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das gilt für die Teileranzahlfunktion und nach der bei wiki angegebenen Formel dann auch für ungerade Teiler : https://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion

10.07.2016, 20:42

forbin

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Aber wie gehe ich allgemein vor?

11.07.2016, 09:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von forbin
Und was muss ich machen wenn ich zeigen möchte, dass F stark Multiplikativ ist?

Bei diesem deinen F ? Ein Gegenbeispiel angeben. Augenzwinkern

11.07.2016, 10:32

forbin

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Ja, aber ich brauche ja erstmal die Idee, dass es nicht stark multiplikativ ist.
Also bitte von vorne:
Wenn ich eine Funktion auf Multiplikativität untersuche, prüfe ich, ob f(1)=1.
und dann? Oder ist das alles ?

11.07.2016, 11:15

Elvis

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Das ist natürlich nicht alles, Du berechnest f(mn) und f(m) und f(n) und f(m)f(n) und vergleichst f(mn) mit f(m)f(n). Wenn Du die Teileranzahlfunktion benutzt, ist alles klar, und ein Gegenbeispiel liefert F(9), weil 3 nicht gleich 4 ist.

11.07.2016, 20:17

forbin

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Ihr müsst mir helfen.

Also erstmal schreibe ich mir die Funktion hin.
$\begin{eqnarray*} F(n)=| \{d : d|m, 2 \nmid d\} | \end{eqnarray*}$

Nun sei $\begin{eqnarray*} m=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot ...\cdot p_{n}^{\alpha_{n}} \end{eqnarray*}$
Und für Prime p ungleich 2 muss ja gelten: F(p)=2
Und für deren Potenzen: $\begin{eqnarray*} F(p^{\alpha}=\alpha+1 \end{eqnarray*}$
Oder Fange ich schon falsch an?

12.07.2016, 10:21

Elvis

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der Anfang stimmt fast, wie geht es weiter ?
Schreibfehler : $\begin{eqnarray*} F(m) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} F(n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(p^{\alpha}) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} F(p^{\alpha} \end{eqnarray*}$

16.07.2016, 22:18

forbin

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Könntest du mir weitrehelfen? Komme nicht dahinter traurig

17.07.2016, 11:04

Elvis

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Das dauert schon ziemlich lange ... hier kommt die ultimative Hilfe. Augenzwinkern

Behauptung: $\begin{eqnarray*} F:\mathbb N\to \mathbb N, F(m):=|\{d:d|m,2\not |d\}| \end{eqnarray*}$ ist multiplikativ.
Beweis: Seien $\begin{eqnarray*} k,l\in \mathbb N, k=\prod_{i=1}^K p^{\alpha_i},l=\prod_{j=1}^L p^{\beta_j} \end{eqnarray*}$ teilerfremd, dann ist $\begin{eqnarray*} F(k)=\prod_{i=1, p\ne 2}^K (\alpha_i+1), F(l)=\prod_{j=1,p\ne 2}^L (\beta_j+1), F(kl)=\prod_{i=1,p\ne 2}^K (\alpha_i+1)\prod_{j=1,p\ne 2}^L (\beta_j+1)=F(k)F(l) \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} F:\mathbb N\to \mathbb N, F(m):=|\{d:d|m,2\not |d\}| \end{eqnarray*}$ ist nicht stark multiplikativ.
Beweis: Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} F(3)=2, F(9)=3\ne 4=F(3)F(3) \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Anmerkung. Die Beweise laufen genau so für die Teileranzahlfunktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to \mathbb N, f(m):=|\{d:d|m\}| \end{eqnarray*}$ , dann muss man nur $\begin{eqnarray*} p\ne 2 \end{eqnarray*}$ unter den Produktzeichen weglassen.

17.07.2016, 19:32

forbin

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Um Himmels Willen, wie kommt man denn auf sowas?

17.07.2016, 19:49

HAL 9000

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Huggy hat gestern treffend darüber geschrieben: Inhalt vs. formale Beschreibung

So ist es auch beim Beitrag von Elvis: Viel "technischer" Kram, aber inhaltlich nichts so außergewöhnliches, dass man gleich wie du solche Entsetzensschreie loslassen muss.

17.07.2016, 20:14

forbin

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Natürlich will ich mich noch bei bedanken, ist mir bei Versuchen der LÖsung entfallen smile

18.07.2016, 08:49

Elvis

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Wie kommt man auf sowas ?
Das ist der völlig normale und ganz von selbst laufende Beweis
(a) für Multiplikativität einer Funktion zeigt man die Gleichheit $\begin{eqnarray*} F(kl)=F(k)F(l) \end{eqnarray*}$ für teilerfremde k und l (hier kann man die eindeutige Primzahlzerlegung nutzen)
(b) für die nicht starke Multiplikativität gibt man ein Gegenbeispiel an, also z.B. $\begin{eqnarray*} F(9)\ne F(3)F(3) \end{eqnarray*}$
Ich sehe nicht, was daran zu technisch ist, das ist doch lediglich die Anwendung der Definition.
Weiter oben habe ich dir den Hinweis auf Wikipedia und auch schon eine vollständige Beweisskizze gegeben, mehr kann man nicht tun.

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