Integration auf nicht achsenparallel berandeten Gebieten

10.07.2016, 12:37	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration auf nicht achsenparallel berandeten Gebieten Meine Frage: Hallo, die Aufgabe, mit der ich noch Schwierigkeiten habe, ist im Anhang. Meine Ideen: Ich habe, um mir buchstäblich ein Bild zu machen, $\begin{eqnarray} x\leq -\frac{y}{2}+1 \wedge 0\leq x\leq y \end{eqnarray}$ in WolframAlpha eingegeben und erhalte dabei ein Dreieck (LINK). Jedoch verstehe ich noch nicht, wie das Gebiet T bestimmt wird. Wie kann ich, z.B. in einer Prüfungssituation, ganz ohne Hilfsmittel dieser Art, ein solches Gebiet skizzieren? Zur eigentlichen Berechnung des Volumens habe ich im Skript zusammengefasst folgenden Satz: $\begin{eqnarray} T:=\left\{ (x,y)\in\mathbb R^2:x\in[a_1,b_1] \wedge a_2(x)\leq y\leq b_2(x)\right\} <br /> \Rightarrow \int_T \! f(x) \, dx = \int_{a_1}^{b_1} \! \left[\int_{a_2(x)}^{b_2(x)} \! f(x,y) \, dy\right] \, dx \end{eqnarray}$ Durch Umformung der beiden Ungleichungen in der Aufgabenstellung erhalte ich $\begin{eqnarray} x\leq y\leq -2x+2 \end{eqnarray}$ . Damit wären ja $\begin{eqnarray} a_2(x) = x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_2(x) = -2x+2 \end{eqnarray}$ . Jetzt weiß ich nicht, wie ich noch an ein Intervall $\begin{eqnarray} x\in[a_1,b_1] \end{eqnarray}$ komme (was vermutlich total trivial ist, und ich stehe nur auf dem Schlauch).
10.07.2016, 13:09	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\leq -\frac y2+1 \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} y\leq 2-2x \end{eqnarray}$ . Du zeichnest dann die Gerade $\begin{eqnarray} y=2-2x \end{eqnarray}$ in das Koordinatensystem. Wegen $\begin{eqnarray} y\leq ... \end{eqnarray}$ beschreibt diese Ungleichung den gesamten Bereich unterhalb bzw. auf der Geraden: Genauso machst du das für die restlichen Ungleichungen. Die Schnittmenge der Gebiete ist dann deine Menge $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ .
10.07.2016, 15:27	Xyarvius	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaah, ja, das leuchtet ein. Danke Das heißt ich hätte das Dreieck, welches von $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y=2-2x \end{eqnarray}$ und der y-Achse eingeschlossen wird. Zu dem Intervall: Wenn ich $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ betrachte komme ich auf $\begin{eqnarray} x\leq -\frac{y}{2} +1<br /> \Leftrightarrow \frac{2x}{2} \leq -\frac{x}{2} +1<br /> \Leftrightarrow \frac{3x}{2} \leq 1<br /> \Leftrightarrow x \leq \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ was mit $\begin{eqnarray} 0\leq x \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} x\in [0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray}$ führen würde, was auch mit meiner Zeichnung übereinstimmt (die Geraden $\begin{eqnarray} y=2-2x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ schneiden sich bei $\begin{eqnarray} x=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ ). Nur habe ich ja $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ gesetzt, aber es gilt ja nur $\begin{eqnarray} x\leq y \end{eqnarray}$ .
10.07.2016, 17:42	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt auf der Geraden $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ (das kannst du ja auch an deiner Zeichnung ablesen). Deswegen ist der Schnittpunkt $\begin{eqnarray} (\frac23,\frac23) \end{eqnarray}$ .

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