Beweis der Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Polynome bei Polynomen

10.07.2016, 16:47	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Polynome bei Polynomen Meine Frage: Hallo Ich brauche Hilfe bei einem Beweis! Der Beweis über die Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Polynome in meinem Skriptum sieht folgendermaßen aus: (Siehe Bild Anhang) Meine Ideen: 1. Wieso kann ich aus f = p1 p2 ... pn und f = q1 q2 ...qm und Lemma 3 schließen, dass es ein Element qi geben muss, das das irreduzible Polynom pn teilt? 2. Da müsste qi ja pn sein, weil es sich um zwei irreduzible Polynome handelt, die sich ansonsten nicht teilen könnte. Daraus schließe ich, dass qi zu pn assoziiert sein muss damit das alles für mich Sinn ergibt und ich das entsprechende Element u mit dem EEA suchen muss. 3. Aber: ist u das zu pn oder qi inverse Element? Ich denke, dass u das inverse Element zu pn sein muss, denn wäre u das inverse Element zu qi wäre u*qi=1 und das muss nicht zwangsläufig pn sein oder? 4. was hat g plötzlich damit zu tun und wie kommt die Definition "g := up1 p2 ... pn?1 = (Produkt) qi mit 1 kleiner-gleich i kleiner-gleich m, i? ungleich j" zustande? 5. Wieso kann ich aus der Tatsache, dass der Grad von g kleiner als der Grad von f ist schließen, dass die Eindeutigkeit der irreduziblen Faktoren von g bis auf die Reigenfolge und Assoziiertheit damit bewiesen ist? Dankeschön!
10.07.2016, 18:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ein $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} q_j \end{eqnarray}$ das irreduzible $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ teilt, also sind $\begin{eqnarray} q_j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ assoziiert, das heißt es gibt eine Einheit $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_n=uq_j \end{eqnarray}$ . Jetzt wird die Gleichung $\begin{eqnarray} f=p_1...p_n=q_1...q_m \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} q_j \end{eqnarray}$ dividiert und es bleibt die Gleichung $\begin{eqnarray} g=up_1...p_{n-1}=q1...\overline {q_j}...q_m \end{eqnarray}$ übrig ( $\begin{eqnarray} q1...\overline {q_j}...q_m \end{eqnarray}$ soll das Produkt ohne $\begin{eqnarray} q_j \end{eqnarray}$ sein ) . Das Polynom $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ hat kleineren Grad als das Polynom $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , ist also nach Induktionsannahme eindeutig zerlegbar. Fertig.
10.07.2016, 18:23	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank Prinzipiell habe ich alles bis auf den ersten Satz verstanden: was mir immer noch nicht einleuchtet ist die Tatsache, dass ich a priori annehmen kann, dass es ein j so gibt, dass qj pn teilt, und weshalb gerade pn und nicht pi oder p1? Danke
10.07.2016, 19:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
oBdA , denn das gilt für jedes $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ Nach Lemma 3 (was immer das sein mag), ist jeder irreduzible Faktor $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ zu einem irreduziblen Faktor $\begin{eqnarray} q_j \end{eqnarray}$ in der Zerlegung $\begin{eqnarray} f=p_1...p_n=q_1...q_m \end{eqnarray}$ assoziiert.
10.07.2016, 19:37	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps, tut mir Leid, Lemma 3 habe ich vergessen einzufügen Lemma 3: Es sei f Element K[x] ein irreduzibles Polynom mit Koeffizienten in einem Körper K. Wenn f das Produkt zweier Polynome teilt, dann auch eines dieser zwei Polynome. Ok danke dir, dann hab ichs jetzt verstanden LG

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