Bilinearform Fundamentalmatrix

10.07.2016, 19:01	fragent	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform Fundamentalmatrix Guten Tag, ich habe eine Verständnisfrage zum Thema Bilinearformen: Die Definition ist mir bekannt. Es soll hier nur um Abbildungen der Form $\begin{eqnarray} a: V\times V\to \mathbb K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \dim V=n< \infty \end{eqnarray}$ gehen. Nun gibt es eine Fundamental-Matrix $\begin{eqnarray} F\in M(n\times n,\ \mathbb K) \end{eqnarray}$ bzgl einer Basis $\begin{eqnarray} \{ v_1,\dots,v_n\}\subseteq V \end{eqnarray}$ , die so definiert ist: Ein beliebiger Eintrag ist definiert als: $\begin{eqnarray} f_{i,j} := a(v_i,v_j) \end{eqnarray}$ . Die Frage / mein Problem ist nun, was diese Matrix bedeutet. Mir ist bekannt, dass Matrizen lineare Abbildungen bzgl Basen darstellen. Aber hier müsste das ja eine Abbildung von einem n-dimensionalen VR nach einem n-dim. VR sein. Damit stellt diese Matrix nicht die Abbildung a dar. Was für eine Bedeutung hat diese Matrix? Viele Grüße, vielen Dank!
10.07.2016, 19:17	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist die Matrixdarstellung der Bilinearform $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bzgl. der gewählten Basis. D.h. falls $\begin{eqnarray} w_1, w_2\in V \end{eqnarray}$ zwei Vektoren mit den Koordinatendarstellungen $\begin{eqnarray} w_1=\begin{pmatrix} w_{1,1} \\ \vdots \\ w_{1,n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_2=\begin{pmatrix} w_{2,1} \\ \vdots \\ w_{2,n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzgl. dieser Basis sind, dann gilt $\begin{eqnarray} a(w_1, w_2)=(w_{1,1}, ..., w_{1,n})\cdot F\cdot \begin{pmatrix} w_{2,1} \\ \vdots \\ w_{2,n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
10.07.2016, 19:56	fragent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke bereits für die Antwort Wenn ich das richtig nachgerechnet habe gilt für das Produkt $\begin{eqnarray} v^T\cdot F\cdot w = \sum_{i, j=1}^n f_{i,j} v_i w_j \end{eqnarray}$ gemäß der üblichen Matrix-Rechenregeln unter Ausnutzung von Assoziativität: Fw ergibt einen Spaltenvektor, v als Zeilenvektor multipliziert mit diesem Spaltenvektor ergibt ein Skalar. Man könnte auch schreiben $\begin{eqnarray} a(v,w)=a(v_1 e_1+v_2 e_2+\dots,\ w_1 e_1+ ... +w_n e_n) = ... = v_1 w_1 a(e_1,e_1)+ v_1 w_2 a(e_1 , e_2)+ ... \end{eqnarray}$ gemäß der Multilinearität. Übrigens bezeichnete jetzt $\begin{eqnarray} \{e_1,...,e_n \} \end{eqnarray*}$ die Basis Gibt es auch einen anderen Namen für diese Matrix, oder wo/ unter welchem Stichwort findet man mehr Informationen darüber? Und zu was für einem Themenfeld / verwandte Themen gehört dieses? (Bitte nicht lineare Algebra als Antwort ;) )
11.07.2016, 09:42	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie (fast immer) hilft Google. (evtl. musst du den Suchbegriff noch um spezielle Begriffe wie Basiswechsel ergänzen.) Ich habe Bilinearformen und Darstellungsmatrizen tatsächlich das erste Mal in der linearen Algebra kennengelernt. Ich wüsste auch nicht, wo man das sonst zuordnen kann.
11.07.2016, 22:15	j3mand	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ist die Blf eine Verallgemeinerung des Skalarproduktes: insb des eukl. SP.
14.07.2016, 21:18	fragent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Antwort hilft mir nur teilweise Es soll gelten: Jede Bilinearform lässt sich durch das euklidische Skalarprodukt ausdrücken?! () $\begin{eqnarray} \langle Ax,\, y \rangle = a(x,y) \end{eqnarray}$ wenn A die zugehörige Fundamentalmatrix zur BLF a ist oder so ähnlich... Ich habe nun das: $\begin{eqnarray} v^T\cdot F\cdot w = \sum_{i, j=1}^n f_{i,j} v_i w_j \end{eqnarray}$ nachgerechnet (s. Post 2 und 3) mit $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ der Fundamentalmatrix mit den Einträgen $\begin{eqnarray} f_{i,j} \end{eqnarray}$ Das eukl. SP ist $\begin{eqnarray} \langle x,y\rangle=\sum_i x_i\cdot y_i \end{eqnarray}$ Wie finde ich diese Identität () nun genau? Vielen Dank, in der Hoffung eine wertvolle Antwort zu erhalten Beste Grüße
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