Invertierbares Element u für Assoziiertheit f=g*u mit EEA berechnen

10.07.2016, 23:14	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
*Invertierbares Element u für Assoziiertheit f=gu mit EEA berechnen Meine Frage:** Hallo Wie berechne ich bei irreduziblen Polynomen $\begin{eqnarray} \in K[x] \end{eqnarray}$ das invertierbare Element u von assoziierten Polynomen g und f, sodass f=gu? Mein Professor will, dass wir das mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus rechnen. Kann mir jemand sagen, wie genau das funktioniert? Meine Ideen:* Mein erster Gedanke war natürlich Zahlen uf+vg=ggT(f,g) zu berechnen, da umgekehrt ug+vf=ggT(f,g) wenig Sinne ergeben würde, weil u dann das inverse Element zu g wäre und aus f=gu dann f=1 folgen würde, was ich im ersten Moment als wenig sinnvoll erachte. Ich habe uf+vg=ggT(f,g) an zwei irreduziblen Polynomen ausprobiert, leider brachte mir das so gewonnene u mit f=ug das falsche Ergebnis (Kann natürlich auch sein dass ich mich verrechnet habe). Welche Polynome muss ich also zur Berechnung von u für den EEA verwenden? Bzw. muss ich das so erhaltene u noch weiter modifizieren, wie etwa beim Lösen ganzzahliger Gleichungen muss man das $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ noch mit $\begin{eqnarray} \frac{b}{ggT(a,b)} \end{eqnarray}$ multiplizieren. Oder ist es gar nicht möglich das u mit dem EEA zu berechnen?
11.07.2016, 11:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f=ug\Leftrightarrow u=\frac f g \end{eqnarray}$ . Division mit EA sehe ich ein, wozu hier der EEA gut sein soll, kann ich nicht erkennen. Der ggT ist ja nur bis auf Assoziierte bestimmt, also gleich der Menge der zu f und g assoziierten Polynome.
11.07.2016, 12:21	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! $\begin{eqnarray} u=\frac{f}{g} \end{eqnarray}$ ist mir auch eingeleuchtet, aber, ich sehe genau wie du, die Verbindung zum EEA nicht, das irritiert mich ich verstehe einfach nicht, worauf mein Professor anspielen will. Natürlich kann man argumentieren, dass, wenn man mit dem EEA das u berechnet, man sich sicher sein kann, dass u auch invertierbar ist. Da wir aber mit Polynomen mit Koeffizienten in einem Körper rechnen, ist diese Argumentation sinnlos.
11.07.2016, 14:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich verstehe nicht, worum es geht, weil insbesondere $\begin{eqnarray} K[X]^=K^* \end{eqnarray*}$ , also zwei Polynome über einem Körper genau dann assoziiert sind, wenn sie sich nur um ein von Null verschiedenes Körperelement unterscheiden. Damit wird die Division zweier assoziierter Polynome trivial und für den erweiterten euklidischen Algorithmus sehe ich keinen Ansatz und keine Notwendigkeit. Selbstverständlich ist eine Einheit u des Körpers im Polynomring invertierbar, und das Inverse ist das Körperelement 1/u. Für Ringe statt Körper wird das auch nicht interessanter. Bitte gib eine Rückmeldung, wenn Du weißt, was hiermit gemeint ist.
12.07.2016, 15:20	Zelda	Auf diesen Beitrag antworten »
Sobald ich weiß, was damit gemeint ist, melde ich mich Kann aber bis Oktober dauern, da ich erst im Oktober die Prüfung über diesen Themenbereich ablegen muss und daher auch erst im Oktober meinen Professor wieder treffe Bis dahin danke für die Hilfe!

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