Hauptachsentransformation

12.07.2016, 16:52	Tiggger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation Meine Frage: $\begin{eqnarray} 4x_1^2-2\sqrt6x_1x_2-x_2^2+2\sqrt7x_1-3=0 \end{eqnarray}$ Hier soll ich die HAT durchführen und dann sagen, um welche Quadrik es sich handelt. Meine Ideen: Zuerst habe ich die Eigenwerte und -vektoren der dazugehörigen Matrix bestimmt. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & \sqrt{6} \\ \sqrt{6} & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \lambda_1=5,\lambda_2=-2 \end{eqnarray}$ Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \sqrt6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -\sqrt6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese habe ich dann normiert, sodass ich eine Orthonormalbasis habe: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt7} \begin{pmatrix} \sqrt6 & -\sqrt{6} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun führe ich die neuen Koordinaten ein: $\begin{eqnarray} x=Sy \Rightarrow x_1=\sqrt6y_1-\sqrt6y_2 ; x_2=y_1+y_2 \end{eqnarray}$ Wenn ich das in die Anfangsgleichung einsetze komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{1}{7}(11y_1^2-13y_2^2)+2\sqrt6(y_1-y_2)-3=0 \end{eqnarray}$ Hier komme ich jetzt nicht weiter. Standardmäßig würde ich eine quadratische Ergänzung machen, aber da stehe ich hierbei irgendwie auf dem Schlauch!
12.07.2016, 20:45	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Tiggger, ich habe deine Eigenwerte und Eigenvektoren nicht kontrolliert allerdings wenn es nur darum geht die quadratische Form zu charakterisieren geschieht dies für gewöhnlich über die Untersuchung der Definitheit der symmetrischen Matrix. Deine Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1=5>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2=-2<0 \end{eqnarray}$ . Damit ist direkt klar dass es sich um eine Hyperbel handelt. Viele Grüße

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