Lineare Abbildung

12.07.2016, 17:43

ThomasBerlin

Lineare Abbildung

Meine Frage:
[attach]42265[/attach]

Meine Ideen:
Zuerst habe ich die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung bzgl. der kanonischen Basen gebildet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Kern ist ja einfach der Vektor, der auf null abbildet. Dabei hat mein ein LGS mit zwei Zeilen, aber drei Unbekannten, deshalb kann eine Koordinate frei gewählt werden.

Somit
$\begin{eqnarray*} Kern(T)=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie bestimmt man jetzt das Bild bzw. die Dimension davon und wie geht Aufgabe c)?

12.07.2016, 17:54

Mulder

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RE: Lineare Abbildung
Das Bild musst du ja gar nicht bestimmen. Du brauchst nur dessen Dimension. Dabei hilft dir der Rangsatz . Da du den Kern schon bestimmt hast, kennst du ja auch dessen Dimension bereits. Nur noch einsetzen und ausrechnen. b) kann man also in zwei Sekunden erschlagen, wenn man a) schon erledigt hat.

Zu c) Berechne die Bilder der Vektoren, die die Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal C \end{eqnarray*}$ bilden und stelle diese als Linearkombination der Basisvektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ dar. Schreibe diese (also die Koeffizienten dieser LInearkombinationen) als Spalten in eine Matrix, fertig.

Bei Wikipedia findest du dazu auch ein Beispiel: Klick

Aber wenn man die Dimension des Bildes ermittelt hat, kennt man in diesem konkreten Beispiel auch gleich das Bild. Das siehst du dann selber wohl.

Der Kern besteht übrigens nicht nur aus dem Vektor (-1,2,2). Das hast du falsch aufgeschrieben. Der Vektor (-1,2,2) bildet eine Basis des Kerns! D.h. auch alle skalaren Vielfachen dieses Vektors liegen im Kern von T.

13.07.2016, 16:36

ThomasBerlin

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RE: Lineare Abbildung
Also mit der Dimensionsformel kommt man auf 2 für die Dimension des Bildes.

Jetzt zur c):

$\begin{eqnarray*} T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} T\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} =2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit hätte ich damit diese Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab es jetzt mal noch anders versucht und bin da leider auf ein anderes Ergebnis gekommen:
Gesucht ist ja $\begin{eqnarray*} _{B}M_{C}^T \end{eqnarray*}$ also die darstellende Matrix zu den Basen B und C.

$\begin{eqnarray*} _{B}M_{C}^T=_{B}M_E^{id} \cdot _{E}M_E^T \cdot _{E}M_C^{id} \end{eqnarray*}$

E steht hierbei für die Einheitsmatrix und id für die identische Abbildung.

$\begin{eqnarray*} _{B}M_E^{id}=B^{-1} \cdot E _{E}M_C^{id}=E \cdot C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} _{E}M_E^T \end{eqnarray*}$ ergibt sich, wenn ich in die Funktiongleichung die Einheitsvektoren einsetzte zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die drei aber jetzt multiplizieren, komme ich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{5}{2} & 3 & 1 \\ -\frac{1}{2} & -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was hab ich falsch gemacht?

14.07.2016, 09:14

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Original von ThomasBerlin
Den Kern ist ja einfach der Vektor, der auf null abbildet. Dabei hat mein ein LGS mit zwei Zeilen, aber drei Unbekannten, deshalb kann eine Koordinate frei gewählt werden.

Der Kern besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden (siehe auch Hinweis von Mulder). Der 2. Satz ist in dieser Form falsch. Die Abbildungsmatrix hätte auch so aussehen können:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da können dann aber 2 Koordinaten frei gewählt werden.

Zitat:

Original von ThomasBerlin
$\begin{eqnarray*} _{B}M_{C}^T=_{B}M_E^{id} \cdot _{E}M_E^T \cdot _{E}M_C^{id} \end{eqnarray*}$

E steht hierbei für die Einheitsmatrix und id für die identische Abbildung.

Hm. E steht hier wohl eher für die kanonische Basis.

Zitat:

Original von ThomasBerlin
$\begin{eqnarray*} _{B}M_E^{id}=B^{-1} \cdot E _{E}M_C^{id}=E \cdot C \end{eqnarray*}$

Hier sehe ich das Problem, daß die Variable B sowohl eine Basis bezeichnet, als auch eine Matrix. Um deine weitere Rechnung zu beurteilen, müßte man auch wissen, was $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ ist.

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