Überprüfung der Lösung zu den Themen Basis, orthonormale Basis, Projektion

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tobi1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung der Lösung zu den Themen Basis, orthonormale Basis, Projektion
Hey zusammen,
ich hab in Lineare Algebra 1 folgende Aufgabe zu lösen:

Es sei U={(x,y,z) | x+y+z=0} mit dem Standard-Skalarprodukt.
(a) Man bestimme eine Basis von U.
(b) Man bestimme eine orthonormale Bassis von U.
(c) Man bestimme die Matrix von

Da ich mich in dem Thema noch nicht allzu sicher fühle und zudem die letzten Vorlesungen wegen eines Krankenhausaufenthaltes verpasst habe, wäre es sehr nett, wenn jemand über meine Lösungen drüber schauen und mir sagen könnte ob alles stimmt, oder wo Fehler liegen smile

Lösung:

(a)
Aus x+y+z=0 folgt, x=-y-z
Deshalb müsste ein Vektor in U folgende Gestalt haben:
Daraus lässt sich die Basis ableiten.

(b)
Um nun die orthonormale Basis zu finden, habe ich das Verfahren von Gram-Schmidt angewendet:
=


(c)
Bei der Teilaufgabe war ich mir am unsichersten. Meine Überlegung war, dass für eine Matrix A folgendes gelten muss:

Dementsprechend wäre die Matrix
tobi1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung der Lösung zum den Themen Basis, orthonormale Basis, Projektion
Wirklich keiner der eben mal drüber gucken kann? unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung der Lösung zum den Themen Basis, orthonormale Basis, Projektion
Zitat:
Original von tobi1994
Um nun die orthonormale Basis zu finden, habe ich das Verfahren von Gram-Schmidt angewendet:
=


Damit das eine orthonormale Basis wird, müßtest du noch v1 und v2 normieren.

Bei Aufgabe c solltest du dir dieses mal anschauen: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonal...che_Darstellung
tobi1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung der Lösung zum den Themen Basis, orthonormale Basis, Projektion
Vielen Dank für die Antwort und den Link!
Bedeutet das , dass ich für c) lediglich die Gram-Matrix aufstellen muss?
Das wäre ja

Aber würde ich nicht dann bei jeder orthogonalen Projektion eine Matrix mit nur 1 auf der Hauptdiagonalen und sonst nur Nullen bekommen? Weil die normierten Vektoren mit sich selbst verknüpft (über das Standard Skalarprodukt) ergeben immer 1 und die anderen (da sie ja orthogonal sind) immer Null? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung der Lösung zum den Themen Basis, orthonormale Basis, Projektion
Also erst mal ist die Projektion eine Abbildung vom R³ in einen zwei-dimensionalen Unterraum des R³. Damit ist die Abbildungsmatrix eine 2x3-Matrix.

Jetzt mußt du noch die Bilder der kanonischen Basis des R³ bestimmen. Dazu hilft die Formel:

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