Markov-Eigenschaft nachweisen

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blablablub Auf diesen Beitrag antworten »
Markov-Eigenschaft nachweisen
Meine Frage:
Ich sitze gerade zur Klausurvorbereitung an der folgenden Aufgabe.

a) Ein Würfel werde wiederholt und unabhängig voneinander geworfen. Zeigen Sie, dass zur Zeit die Zeit seit der letzten geworfenen Fünf eine Markov-Kette ist.

b) Geben Sie die Übergangsmatrix des Experiments aus Teil a) an.


Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich mir folgendes überlegt:

zu a) Die Zeit ist nur abhängig davon, wann das letzte Mal eine fünf geworfen wurde, als von der Zeit jedoch nicht von den Zeiten davor intuitiv ist somit die Markov Eigenschaft erfüllt. Jedoch bin ich mir unsicher, wie ich das ganze mathematisch korrekt formuliere.

zu b) Ich habe im Internet die Übergangsmatrix (ich hoffe man kann das so ungefähr erkennen). Verstehe aber noch nicht so ganz, wie man darauf kommt.

Vielen Dank für die Hilfe.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markov-Eigenschaft nachweisen
Die Sache ist doch einfach. Es sei gegeben. Jetzt würfelt man ein weiteres mal. Das Ergebnis dieses Wurfs bestimmt . Würfelt man keine 5, so hat man



Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 5/6. Würfelt ma eine 5, so ist



Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/6.

Das ist das, was du im Internet gefunden hast. Und da in die Berechnung nur eingeht, aber kein mit , ist die Markoveigenschaft erfüllt.
blablablub Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal. Vom Pinzip her hab ich das so verstanden, bin mir aber igendwie unsicher, wie ich das richtig formal aufschreibe. Eine Markov-Kette ist ja wie folgt definiert:
heißt Markov-Kette mit Zustandsraum genau dann, wenn für alle und mit gilt .
Ich bin mir jetzt unsicher, wie ich das aufschreiben soll um auch wirklich zu zeigen, dass diese Eigenschaft vorliegt, ohne einfach intuitiv davon auszugehen, dass das so passt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blablablub
Danke erstmal. Vom Pinzip her hab ich das so verstanden, bin mir aber igendwie unsicher, wie ich das richtig formal aufschreibe.

Eine Frage, die immer wieder auftaucht. Anscheinend werden die Mathematikstudenten heute so sehr mit formalen Dingen traktiert, dass der Inhalt der Mathematik dabei manchmal untergeht.

Wenn man die Übergangswahrscheinlichkeiten konkret, wie ich es oben getan habe und wie du sie im Internet gefunden hast, aufschreibt, dann ist doch deine letzte Gleichung erfüllt, weil da eben nur eingeht. Vielleicht entspricht das etwas mehr deiner Vorstellung:



Analog für . Mir erscheint es hirnrissig, auf solchen Dingen herumzureiten. Aber dafür kannst du ja nichts. Die eigentliche Frage ist doch, weshalb das inhaltlich gilt. Und es gilt, weil die Unabhängigkeit der aufeinanderfolgenden Würfe vorausgesetzt wurde. Diese Unabhängigkeit kann man, wenn man will, wieder in Form einer solchen bedingten Wahrscheinlichkeit hinschreiben, bei der dann auf der rechten Seite eine unbedingte Wahrscheinlichkeit steht. Besser und klarer wird dadurch aus meiner Sicht nichts.

Ob dir das hilft, die formalen Anforderungen eures Profs. zu erfüllen???
blablablub Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich hab das jetzt mal so aufgeschrieben für die beiden Fälle und denke auch, dass das so formal passt.
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