Gleichverteilung Arbeitszeit

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matheman^2 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichverteilung Arbeitszeit
Meine Frage:
Hallo Leute ich sitze gerade vor einer Beispielklausur Statistik, zu der es keine Lösung gibt und stehe vor einer Problematik, bei der meine Mitstudenten und ich verschiedene Ansätze haben. Folgende Aufgabe:
"Um bei seinem Vorgesetzten einen guten Eindruck zu hinterladden, wartet ein Arbeitnehmer täglich eine gewisse Zeit nach Dienstschluss, bis er das Büro verlässt. Die Dauer der täglichen Mehrarbeitszeit kann durch unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen auf [0,60] (Minuten) beschrieben werden. Wie hich ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student im Laufe von 210 Tagen mehr als 100 Überstunden aufbaut.

Meine Ideen:
Zunächst klar ist das Aufstellen der Gleichverteilung für einen Arbeitstag.
F(x)=x/60 für 0<x<=60.

Ab hier trennen sich die Wege.
1.Ansatz:
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit über den zentralen Grenzwertsatz für die 210 Zufallsvariablen. Es kommt eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit raus, was wenig schlüssig ist, da ja gerade einmal 6000min von möglichen 12600min "betrachtet werden".

2.Ansatz:
Man sagt die tägliche Mehrarbeitszeit betrage im Durchschnitt (6000/210)=28.57min. Diese Zahl setzt man nun einfach in die Gleichverteilung für einen Arbeitstag und erhält dann nach entsprechender Umformung eine Wahrscheinlichkeit die bei etwa 50% liegt.

Hoffentlich kann mir jemand helfen.
Besten Dank!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matheman^2
1.Ansatz:
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit über den zentralen Grenzwertsatz für die 210 Zufallsvariablen. Es kommt eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit raus, was wenig schlüssig ist, da ja gerade einmal 6000min von möglichen 12600min "betrachtet werden".

1. Was ist "sehr hoch"?

2. Inwiefern ist das "wenig schlüssig"? Dein Nebensatz dazu ist für mich in keinster Weise eine sinnvolle Begründung.

Prinzipiell ist dieser erste Ansatz nämlich richtig. Der zweite Ansatz ist jedenfalls volkommen unsinnig.
matheman^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten eine Wahrscheinlichkeit von über 90% raus. An die genaue Zahl erinnere ich mich nicht. allerdings vermuteten wir, dass diese nicht so schlüssig ist wegen der Gleichverteilung. Diese ließ uns fälschlicherweise darauf schließen, dass eine Wahrscheinlichkeit von 50% sinnvoller ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matheman^2
Wir hatten eine Wahrscheinlichkeit von über 90% raus. An die genaue Zahl erinnere ich mich nicht. allerdings vermuteten wir, dass diese nicht so schlüssig ist wegen der Gleichverteilung.

Soviel bekomme ich nicht raus, sondern "nur" 88.4%.

Streich das mit der Gleichverteilung aus deiner Argumentation: Der Zentrale Grenzwertsatz bewirkt, dass die Summenverteilung eher einer Normalverteilung ähnelt, ganz egal (oder sagen wir besser: in weiten Grenzen egal) wie die Einzelverteilung aussieht!
matheman^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Habs nun verstanden smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würden die Parameter der Normalverteilung interessieren.
Ich habe alles durch 210 dividiert und in Minuten gerechnet, aber offensichtlich eine falsche Annahme getroffen, denn so komme ich nicht auf 0.884:

und



Was ist der Fehler?

mY+
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sieht so aus, als meinst du mit den Mittelwert der Überminuten.

Dann ist nach ZGWS näherungsweise normalverteilt, und zwar mit den Parametern sowie .
matheman^2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichverteilung Arbeitszeit
Wenn ich mich wieder in die Diskussion einklinken darf, warum teilst du die Varianz durch n. Laut meinem Skript wird beim ZGWS die Varianz einer Zufallsvariablen eingesetzt und diese ist doch 300.
matheman^2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichverteilung Arbeitszeit
Mit dieser Rechnung erhalte ich nämlich auch dein Ergebnis von oben.

P.S. Ich dachte der Erwartungswert der Gleichverteilung ist (a+b)/2 und nicht (b-a)/2. Macht in diesem Fall zwar keinen Unterschied aber nur für mein Verständnis.

Danke smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichverteilung Arbeitszeit
Zitat:
Original von matheman^2
Wenn ich mich wieder in die Diskussion einklinken darf, warum teilst du die Varianz durch n.

Es ist deutlich zu unterscheiden, ob wir über die Standardabweichung der Einzelzufallsgrößen reden, oder über die Standardabweichung des Mittelwerts . In dem Sinne ist

.

Die approximative Standardnormalverteiltheit von , auf die ja dein Scan Bezug nimmt, hat dann für die approximative Normalverteiltheit zur Folge. mYthos hat nun offenbar den Fehler gemacht, mit statt zu rechnen. Und du hast offenbar auch dieses im Scan ignoriert. unglücklich
matheman^2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichverteilung Arbeitszeit
Ahh super, genauso habe ich das verstanden. Mir war nur nicht klar, dass mYthos dies nicht so gemacht hat. Ich habe beide Formeln immer so betrachtet, wie sie im Skript stehen. Also Standardabweichung und Erwartungswert der Einzelzufallsgrößen ermitteln (diese Werte setze ich dann auch ein) und dann entweder über den Mittelwert (Formel 2) oder über die Summe (Formel 1).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matheman^2
Ahh super, genauso habe ich das verstanden.

Aber hier wohl noch nicht:

Zitat:
Original von matheman^2
Wenn ich mich wieder in die Diskussion einklinken darf, warum teilst du die Varianz durch n.

Sonst hättest du die Frage ja wohl nicht gestellt - zumindest nicht in dieser Formulierung. unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL, danke für die Erklärung!

mY+
matheman^2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich habe ich mich nicht gut genug ausgedrückt, aber es war genauso gemeint verwirrt
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