Dichte des Poisson Prozesses

24.07.2016, 03:55

Taube23

Dichte des Poisson Prozesses

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich hab folgendes Problem: Ich hab $\begin{eqnarray*} X_i \overset{iid}\sim Exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ gegeben, d.h. ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} f_{X_i}(x_i) = \lambda e^{-\lambda x_i} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Jetzt hab ich einen Poisson Prozess gegeben $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ und soll durch Konvolution/Faltung mit $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} f_{S_n} = \frac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-\lambda x}\qquad,x>0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich setzt $\begin{eqnarray*} Z = X + Y \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X,Y\overset{iid}\sim Exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ und nutze die Konvolutionsformel
$\begin{eqnarray*} f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_{XY}(x,z-x)\,dx \overset{iid}= \int_{-\infty}^\infty f_X(x)\cdot f_Y(z-x)\,dx = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\cdot \lambda e^{-\lambda(z-x)}\,dx = \int_0^\infty \lambda^2 e^{-\lambda x -\lambda z +\lambda x}\,dx \end{eqnarray*}$
und bekomme am Ende

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 e^{-\lambda z} [x]_0^\infty \end{eqnarray*}$
heraus, was allerdings mE nicht endlich ist.

Was mache ich falsch? unglücklich

Vielen Dank schon mal für eure Hinweise smile

26.07.2016, 13:13

1nstinct

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RE: Dichte des Poisson Prozesses

Zitat:

Ich hab $\begin{eqnarray*} X_i \overset{iid}\sim Exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ gegeben, d.h. ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} f_{X_i}(x_i) = \lambda e^{-\lambda x_i} \end{eqnarray*}$

Da fehlt noch eine Idikatorfunktion:

Für Exponentialverteilungen gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\cdot 1_{[0,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

Wenn du diese mit berücksichtigst, steht da
$\begin{eqnarray*} f_Z(z)=\dots =\lambda^2 e^{-\lambda z}\cdot \int_{-\infty}^\infty 1_{[0,\infty)}(x)\cdot 1_{[0,\infty)}(z-x)\, \mathrm dz \end{eqnarray*}$

Damit sollte es passen.

Liebe Grüße

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