Spektrum/Eigenwerte in Abhaengigkeit von einem Parameter

24.07.2016, 15:28

amateurphysiker_

Spektrum/Eigenwerte in Abhaengigkeit von einem Parameter

Hi,

kann mir vielleicht jemand sagen wie ich bei der Aufgab b) weiterkomme (siehe Ansatz)? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch was ich mit r machen soll und wie das Polynom korrekt zerlegen kann.

Danke!

24.07.2016, 18:13

Elvis

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a) det A= 0 genau dann, wenn r=1 oder r=-1.
Und jetzt kannst du in Aufgabe b) r=1 setzen und die Eigenwerte berechnen. Dann kannst Du r=-1 setzen und die Eigenwerte berechnen.

24.07.2016, 18:25

amateurphysiker_

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Hi, danke. Ich versteh leider den Zusammenhang noch nicht. Warum muss r so gewählt werden, dass det A=0?

24.07.2016, 18:32

Elvis

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Verstehe ich auch nicht, entschuldigung, hab ich mich vertan. Ist alles viel einfacher.
Löse die eckige Klammer nicht auf, sondern bedenke, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist.
Bedenke weiter $\begin{eqnarray*} a²=b² \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} a=\pm b \end{eqnarray*}$

24.07.2016, 19:12

amateurphysiker_

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Danke. Verstehe ich dich richtig, dass du darauf hinaswillst, dass die eckige Klammer 0 ergibt wenn a) r=1-L oder b) r=-1+L? Aber r kann doch irgendeinen beliebigen Wert haben?

24.07.2016, 19:17

Elvis

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es geht um die eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , nicht um den Parameter r
... also musst du nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auflösen. Die erste Klammer löst du doch auch nach $\begin{eqnarray*} \lambda=2 \end{eqnarray*}$ auf und suchst nicht nach weiteren Informationen über die Zahl 2

24.07.2016, 19:26

amateurphysiker_

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achso, das heisst 1+L muss +-r sein?

24.07.2016, 19:27

Elvis

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nein, 1-L=+-r, und was ist dann L Big Laugh

24.07.2016, 19:54

amateurphysiker_

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Ja ok sorry, klar. Ok! Ich versuch damit mal weiter zu rechnen! Danke!!

24.07.2016, 20:55

amateurphysiker_

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Könntest du bitte nochmal draufschauen, ob das so passt mit den Eigenwerten, Eigenvektoren, J, und S?

Danke!!

25.07.2016, 11:39

Elvis

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a) Du solltest noch einmal kurz über die Logik deines Beweises nachdenken, das passt nicht gut zusammen. Und die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \forall r\backslash \{1,-1\} \end{eqnarray*}$ geht gar nicht.

b) hast Du nun doch viel zu umständlich gelöst. Ich hatte geschrieben, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn ein Faktor 0 ist. Ein Faktor des charakteristischen Polynoms ist $\begin{eqnarray*} \lambda -2 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1=2 \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert. Der andere Faktor des char.Pol. ist $\begin{eqnarray*} (1-\lambda)^2-r^2 \end{eqnarray*}$ , wir hatten schon geklärt, dass die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_2=1-r, \lambda_3=1+r \end{eqnarray*}$ sind. Wenn man die Nullstellen eines faktorisierten Polynoms sucht, ist es kontraproduktiv, die Faktoren zu multiplizieren. Das Polynom $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (x-x_i) \end{eqnarray*}$ hat genau die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_i \; (i=1,...,n). \end{eqnarray*}$

Vielleicht solltest Du zunächst einmal über c) nachdenken, bevor Du dich mit d) beschäftigst. Deine Lösung für d) ist notwendig falsch, weil Du die Aufgabe falsch verstanden hast.

25.07.2016, 14:51

amateurphysiker_

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Danke!

zu a: Ist det A ungleich 0 nicht äquivalent zu invertierbar?

zu b: Ok das stimmt, den Teil hätte ich mir sparen können. Ich hatte nicht gesehen, dass wir bereits 3 Eigenwerte hatten und es ja nur maximal drei geben kann!

zu c: Müsste diagonalisierbar sein, da algebraische VF = geometrische VF = 1 fuer alle drei Eigenwerte. Stimmt das?

zu d: Kannst du mir sagen was falsch ist? Meine Jordanform entspricht der Diagonalmatrix.

Danke :-)

25.07.2016, 18:53

Elvis

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a) Frage: Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist die Matrix $\begin{eqnarray*} A_r \end{eqnarray*}$ invertierbar ?
Deine Antwort: $\begin{eqnarray*} det(A)\ne 0\Rightarrow r\ne \pm 1 \end{eqnarray*}$
Dabei interpretiere ich deine Antwort schon wohlwollend, denn auf dem Blatt stehen die Aussagen $\begin{eqnarray*} det(A)\ne 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\ne \pm 1 \end{eqnarray*}$ ohne logische Beziehung.
Um die Frage zu beantworten, musst du zeigen : $\begin{eqnarray*} r\ne \pm 1\Rightarrow det(A_r)\ne 0 \end{eqnarray*}$ , woraus sich insgesamt ergibt : $\begin{eqnarray*} r\ne \pm 1\Leftrightarrow det(A_r)\ne 0 \end{eqnarray*}$

b) Wieso haben wir 3 Eigenwerte ? Das char.Pol. hat (mit Vielfachheit gerechnet) 3 Nullstellen. Die Eigenwerte ergeben sich daraus. Wie viele das sind, musst Du in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ genau bestimmen.

c) Kannst Du so nicht machen, da musst Du vorher bei b) genauer hinsehen. Wenn 3 verschiedene Eigenwerte vorliegen, stimmt das Argument.

d) Frage: Bestimme die Jordansche Normalform von $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ...
Deine Antwort: Du machst irgendwelche wilden Berechnungen mit $\begin{eqnarray*} A_r \end{eqnarray*}$
Das kannst Du dir alles schenken, wenn Du b) und c) richtig bearbeitet hast.

25.07.2016, 20:41

amateurphysiker_

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Zitat:

Original von Elvis
a) Frage: Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist die Matrix $\begin{eqnarray*} A_r \end{eqnarray*}$ invertierbar ?
Deine Antwort: $\begin{eqnarray*} det(A)\ne 0\Rightarrow r\ne \pm 1 \end{eqnarray*}$
Dabei interpretiere ich deine Antwort schon wohlwollend, denn auf dem Blatt stehen die Aussagen $\begin{eqnarray*} det(A)\ne 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\ne \pm 1 \end{eqnarray*}$ ohne logische Beziehung.
Um die Frage zu beantworten, musst du zeigen : $\begin{eqnarray*} r\ne \pm 1\Rightarrow det(A_r)\ne 0 \end{eqnarray*}$ , woraus sich insgesamt ergibt : $\begin{eqnarray*} r\ne \pm 1\Leftrightarrow det(A_r)\ne 0 \end{eqnarray*}$

Ok, aber hab ich nicht gezeigt (vielleicht abgesehen von einer unsauberen Schreibweise), dass det A ungleich 0 (und damit invertierbar) wenn r ungleich +-1 und damit für alle r ohne +-1? Ich hab die Operatoren nochmal angepasst, macht es so mehr Sinn (siehe Anhang)?

Zitat:

Original von Elvis
b) Wieso haben wir 3 Eigenwerte ? Das char.Pol. hat (mit Vielfachheit gerechnet) 3 Nullstellen. Die Eigenwerte ergeben sich daraus. Wie viele das sind, musst Du in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ genau bestimmen.

Ok ich hab mal in 4 Faelle unterschieden (siehe Anhang). Macht das so Sinn?
Was mir unklar ist: Was hat die Frage der Invertierbarkeit mit den Eigenwerten zu tun? Also hat meine Erkenntnis, dass A nur für r ungleich +-1 invertierbar ist Einfluss auf Aufgabe b)? Mir ist der Zusammenhang hier leider nicht ganz klar.

Danke fuer deine Geduld smile

26.07.2016, 09:26

Elvis

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Die Lösung für a) und b) kann man so stehen lassen. Ich würde aber stets $\begin{eqnarray*} A_r \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schreiben.
Es gibt keinen logischen Zusammenhang zwischen a) und b), aber offenbar einen sachlichen Zusammenhang :
$\begin{eqnarray*} (r\ne\pm 1\Leftrightarrow det(A_r)\ne 0)\wedge (r\ne\pm 1\wedge r\ne 0\Rightarrow \exists 3 \end{eqnarray*}$ verschiedene Eigenwerte).

26.07.2016, 12:19

amateurphysiker_

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Zitat:

Original von Elvis
Die Lösung für a) und b) kann man so stehen lassen. Ich würde aber stets $\begin{eqnarray*} A_r \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schreiben.

Ok ja macht Sinn!

Zitat:

Original von Elvis
Es gibt keinen logischen Zusammenhang zwischen a) und b), aber offenbar einen sachlichen Zusammenhang :
$\begin{eqnarray*} (r\ne\pm 1\Leftrightarrow det(A_r)\ne 0)\wedge (r\ne\pm 1\wedge r\ne 0\Rightarrow \exists 3 \end{eqnarray*}$ verschiedene Eigenwerte).

Ok ist das irgendwie fuer die weitere Aufgabe oder das Verstaendnis relevant?

Zitat:

Original von Elvis
c) Kannst Du so nicht machen, da musst Du vorher bei b) genauer hinsehen. Wenn 3 verschiedene Eigenwerte vorliegen, stimmt das Argument.

Ok also ich habe jetzt in b) 4 Fälle unterschieden. Fall 1 und 2 fallen raus da in (c) r ungleich +-1 gefordert ist. Fuer Fall 4 hatte ich bereits gezeigt, dass A_r diagonalisierbar. Uebrig bleibt nur Fall 3, also r=0, korrekt? Wenn man in A_r nun fuer r=0 einsetzt, dann sieht man ja direkt, dass A_0 bereits eine Diagonalmatrix ist, damit waeren allen Faelle abgedeckt oder?

Zitat:

Original von Elvis
d) Frage: Bestimme die Jordansche Normalform von $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ...
Deine Antwort: Du machst irgendwelche wilden Berechnungen mit $\begin{eqnarray*} A_r \end{eqnarray*}$
Das kannst Du dir alles schenken, wenn Du b) und c) richtig bearbeitet hast.

Ja, das hatte ich ziemlich verplant, dass hier nach A_1 gefragt wurde :/ Hab es nun nochmal versucht. Wenn ich allerdings die Eigenvektoren fuer L=2 berechnen will (um die geometrische Vielfachheit zu bestimmen welche ich fuer die Jordanform benoetige), komme ich nur auf (0,0,0), was ja kein Eigenvektor ist (siehe Anhang). Mach ich etwas falsch? Es muss doch fuer jeden Eigenwert immer mindestens einen Eigenvektor geben oder nicht?

Danke!!

26.07.2016, 12:55

Elvis

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c) jetzt ist es richtig und vollständig
d) $\begin{eqnarray*} x_3=t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da haben wir einen Eigenvektor zum Eigenwert 2

26.07.2016, 14:25

amateurphysiker_

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Zitat:

Original von Elvis
d) $\begin{eqnarray*} x_3=t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da haben wir einen Eigenvektor zum Eigenwert 2

Ah ja klar, mein Fehler.. Ok habs nochmal versucht. Passt J und S so? (Es geht unten bei (1) los und dann kommt oben (2).

26.07.2016, 18:39

Elvis

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$\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ sieht wie eine Jordannormalform aus und es ist $\begin{eqnarray*} A_1S=SJ \end{eqnarray*}$ , also wird es wohl stimmen.

26.07.2016, 20:24

amateurphysiker_

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MILLE grazie!! smile

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