Differenzieren

25.07.2016, 02:53

Joachim Stevens

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Meine Frage:
Hallo,
Ich habe hier ein weiteres Problem
Ich komme an dieser Stelle nicht weiter

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right) -\left(\frac{x^{2} }{\sqrt{x^{2}+1 } } \right) }{\left(\sqrt{x^{2}+1} \right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe sollen wir zweite Ableitung bilden
Das ist die gegebene Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$

Ich habe folgende Schritte unternommen
Erste Ableitung gebildet :
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } \end{eqnarray*}$

Aus der ersten ABleitung nochmal abgeleitet :
$\begin{eqnarray*} u = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'= \frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } \end{eqnarray*}$

Habe es dann in die Formel von der Qoutientenregel eingesetzt
Und habe das raus bekommen
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right) -\left(\frac{x^{2} }{\sqrt{x^{2}+1 } } \right) }{\left(\sqrt{x^{2}+1} \right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

Kann mir jemad sagen oder ein Tipp geben wie ich weiter
Rechnen soll ?

Ich muss auf das Ergebnis kommen
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(1+x^{2} \right) ^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$
Vielen Dank im vorraus !!

Meine Ideen:
Ich weiß, ich muss das Sutrahieren.Würde das mit Erweitern von Brüchen gehen ?

EDIT: Latexcode verbessert (keine Accente als Ableitungszeichen).

25.07.2016, 03:08

sybok

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Hallo

Ja genau, $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1}}{1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$ gleichnamig machen dann subtrahieren und weiter vereinfachen.

25.07.2016, 08:08

Joachim Stevens

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Differenzieren
ja das habe ich jetzt gemacht aber irgendwie drehe ich mich da um Kreis..

Also ich habe umgeformt

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+x^{2} \right)^{1/2} }{\left(1\right) } -\frac{\left(x^{2} \right) }{\left(1+x^{2} \right)^{3/2} } \end{eqnarray*}$

Dann erweitert :
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+x^2\right)^{1/2} \left(1+x^2\right)^{3/2} }{\left(1\right) \left(1+x^2\right)^{3/2} } -\frac{\left(x^2\right) }{\left(1+x^2\right)^{3/2} } \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich das raus :
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+x^2\right)^{2}-x^2 }{\left(1+x^2\right)^{3/2} } \end{eqnarray*}$

Ergebnis ist ja
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(1+x^{2} \right) ^{\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$

Ich habe wahrscheinlich irgendwo was völlig falsch gemacht im wenn ich den Zähler ausmultipliziere kommt was mega langes raus.

25.07.2016, 09:04

klarsoweit

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RE: Differenzieren

Zitat:

Original von Joachim Stevens
Also ich habe umgeformt

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+x^{2} \right)^{1/2} }{\left(1\right) } -\frac{\left(x^{2} \right) }{\left(1+x^{2} \right)^{3/2} } \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle ist schon was schief gelaufen. Die Umformung von $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1} - \frac{x^2 }{\sqrt{x^2+1 } }}{\left(\sqrt{x^2+1} \right)^2} \end{eqnarray*}$ zu dem Zitierten ist falsch.

Das mit dem Gleichnamig-Machen ist in meinen Augen zu umständlich. Ich würde an dieser Stelle den gesamten Bruch einfach mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ erweitern. smile

26.07.2016, 03:57

Joachim Stevens

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RE: Differenzieren
Also ich habe jetzt den Teil neu gemacht, habe natürlich auch andere Werte raus,
Komme aber trotzdem nicht weiter.

Ableitung neu gebildet :
$\begin{eqnarray*} u = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = \left(1+x^2\right)^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{3/2} } \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1\cdot \left(1+x^2\right)^{1/2} \right)- \left(x\cdot \frac{x}{1+x^2} \right)^{3/2} }{v^2} \end{eqnarray*}$
Erweitert:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+x^2\right) ^{3/2}}{\left(1+x^2\right) ^{1/2}\cdot \left(1+x^2\right) ^{3/2}} -\frac{x^2\cdot \left(1+x^2\right) ^{1/2}}{\left(1+x^2\right) ^{3/2}\cdot \left(1+x^2\right) ^{1/2}} \end{eqnarray*}$
Ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+x^2\right) ^{3/2}}{\left(1+x^2\right) ^{5/2}} -\frac{x+x^3}{\left(1+x^2\right) ^{5/2}} ] \end{eqnarray*}$

Das was ich hier raus bekommen habe, kann ich glaube ich so nicht weiter verwenden.
Habe wahrscheinlich irgendwo Fehler gemacht.
Oder ist das richtig so ?

oder wie hast du das gemeint klarsoweit ?

EDIT: bei Ableitungen Apostroph verwenden, keinen Accent. (klarsoweit)

26.07.2016, 07:54

Leopold

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RE: Differenzieren
Schreibe bitte Gleichungen, keine Terme: $\begin{align*} f'(x) = \ldots \end{align*}$ Terme sind keine Aussagen.

Der Fehler liegt gleich am Anfang:

Zitat:

Original von Joachim Stevens
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(1+x^{2} \right)^{1/2} }{\left(1\right) } -\frac{\left(x^{2} \right) }{\left(1+x^{2} \right)^{\color{red} 3/2} } \end{eqnarray*}$

Für Fortgeschrittene: Man könnte auch $\begin{align*} y^2 = 1 + x^2 \end{align*}$ zweimal implizit differenzieren.

$\begin{align*} yy'= x \end{align*}$

$\begin{align*} {y'}^2 + yy'' = 1 \end{align*}$

Um die erste Gleichung verwenden zu können, multipliziert man mit $\begin{align*} y^2 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \left( yy' \right)^2 + y^3 y'' = y^2 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2 + y^3 y'' = y^2 \end{align*}$

$\begin{align*} y^3 y'' = y^2 - x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} y^3 y'' = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} y'' = \frac{1}{y^3} \end{align*}$

26.07.2016, 08:43

klarsoweit

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RE: Differenzieren

Zitat:

Original von Joachim Stevens
Also ich habe jetzt den Teil neu gemacht, habe natürlich auch andere Werte raus,
Komme aber trotzdem nicht weiter.

Ableitung neu gebildet :
$\begin{eqnarray*} u = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = \left(1+x^2\right)^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{3/2} } \end{eqnarray*}$

Was soll jetzt hier das v sein? Ich weiß auch nicht, warum du die ganze Rechnung neu machst, wo ich doch gesagt hatte, was du tun sollst. Diese Rechnung war doch ok:

Zitat:

Original von Joachim Stevens
Aus der ersten ABleitung nochmal abgeleitet :
$\begin{eqnarray*} u = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = \sqrt{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'= \frac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } \end{eqnarray*}$

Habe es dann in die Formel von der Qoutientenregel eingesetzt
Und habe das raus bekommen
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right) -\left(\frac{x^{2} }{\sqrt{x^{2}+1 } } \right) }{\left(\sqrt{x^{2}+1} \right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

wobei du dir angewöhnen solltest, nicht nur Terme zu schreiben, sondern kenntlich zu machen, was diese bedeuten, zum Beispiel hier mit einem "f''(x) =" .
Und an dieser Stelle solltest du den gesamten Bruch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ erweitern.

26.07.2016, 11:12

Joachim Stevens

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RE: Differenzieren
Wenn ich erweitere sieht es bei mir dann so aus :

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{\left(\sqrt{x^2+1} \right)-\left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1} } \right)}{\left(\sqrt{x^2+1} \right)} \cdot \frac{\left(\sqrt{x^2+1} \right)}{\left(\sqrt{x^2+1} \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left(x^2+1\right) ^{1/2}-\frac{x^2}{\left(x^2+1\right) ^{1/2}} \cdot \left(x^2+1\right) ^{1/2}}{(\left(x^2+1\right) ^{1/2})^2\cdot \left(x^2+1\right) ^{1/2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{\left(\left(x^2+1\right) ^{1/2}\right) \left(\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)^{-1/2} }\right) \left(\left(x^2+1\right) ^{1/2}\right) }{\left(\left(x^2+1\right) \right) \left(\left(x^2+1\right) ^{1/2}\right) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{\left(x^2+1\right)-x^2\cdot \left(x^2+1\right) ^{-1/2} }{\left(x^2+1\right) ^{3/2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{\left(x^2+1\right)-x^2 }{\left(x^2+1\right) ^{3/2}\cdot \left(x^2+1\right) ^{1/2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{x^2+1-x^2}{\left(x^2+1\right) ^{4/2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\left(x^2+1\right) ^{2}} \end{eqnarray*}$

Wie es aussieht, ist da immernoch ein Hacken drin.

26.07.2016, 11:55

sybok

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Im Zähler in der vierten Zeile sollte $\begin{eqnarray*} (x²+1)^{-1/2} \end{eqnarray*}$ nicht mehr vorkommen, wurde ja weggekürzt. Dann hättest du es. Abgesehen davon hat es ein paar Schreibfehler in der zweiten und dritten Zeile.

26.07.2016, 12:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von sybok
Abgesehen davon hat es ein paar Schreibfehler in der zweiten und dritten Zeile.

Ob das Schreib- oder böse Rechenfehler sind, ist die große Frage. Bei genauer Betrachtung ist keine einzige Zeile (auch nicht die erste) richtig. geschockt

26.07.2016, 13:57

sybok

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Ja du hast recht, das ganze ist etwas gar arg. Ich hätte mal gesagt: "Zugunsten für den 'Angeklagten' ".

Nur um Verwirrung für Joachim Stevens zu vermeiden: Wäre(!) die 5. Zeile korrekt, wären es auch die 6. und 7.

Sind dir die (Schreib)Fehler denn klar? Ansonsten müsstest du vielleicht mal mit einfacheren Termumformungen beginnen.

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