Kann man das auflösen?

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PSM Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man das auflösen?
Hallo Wink
Ich versuche gerade, das hier nach m aufzulösen:


Bis jetzt habe ich in der Schule nur nach einer linearen Variablen aufgelöst, deshalb kenne ich die ganzen Auflösungsverfahren noch nicht (komme erst in 2 Wochen in die 9. Klasse).

Ich vermute, dass man hierfür ein Näherungsverfahren benötigt. Liege ich da richtig, oder kann man das "normal" auflösen? Hilfe

Danke im Voraus!

MfG
Patrick
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Patrick,

ich würde vorschlagen, mit dem Nenner zu erweitern. Den linken Bruch, um den es hier ja nicht geht, nenne ich mal k (für "konstant").




Das ist eine kubische Gleichung, (hoch 3) die sich viel schwerer lösen läßt als eine quadratische Gleichung, aber auch dafür gibt es allgemeine Lösungsformeln. Die weiß ich allerdings nicht auswendig, schau doch mal im Lexikon. Wenn Du nicht weiterkommst können wir das nochmal zusammen versuchen.

Allerdings ohne Garantie, ich bin da auch nicht so bewandert! Augenzwinkern

Gruß

MisterSeaman
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
Das lässt sich noch 'auflösen', ist aber ziemlich unsinnig sich damit
zu befassen, weil zu komplex ... .

Völlig 'unpraktisch'


smile
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Btw, Dein Beispiel sieht ja ziemlich physikalisch aus, worum geht es denn?
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MisterSeaman
Btw, Dein Beispiel sieht ja ziemlich physikalisch aus, worum geht es denn?

Steht G nicht normalerweise für die Gravitationskonstante (6.672E-11) und v für die Geschwindigkeit? verwirrt
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Steht G nicht normalerweise für die Gravitationskonstante (6.672E-11) und v für die Geschwindigkeit?


Wahrscheinlich schon, aber ich dachte mehr an den Hintergrund, nicht an die Formel. Augenzwinkern
 
 
PSM Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist physikalisch.
Es geht hierbei um Doppelsternsysteme. Im Gegensatz zu Planetensystemen, bei denen man die Planetenmasse vernachlässigen kann, muss bei Doppelsternsystemen die 2. Masse berücksichtigt werden.
Die Gleichung habe ich bereits in mein Excel-Programm eingetragen. Doch dann musste ich immer so lange eine Zahl für m einsetzen, bis die Gleichung erfüllt war. :P unglücklich Dazu habe ich keine Lust mehr.

MfG
Patrick

EDIT:
G=Gravitationskonstante, v=Geschwindigkeit, T=Umlaufzeit, M und m sind die Massen der Doppelsterne.
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du magst mit deiner Vermutung Recht haben, dass es nur numerisch geht.

Mein Ansatz:








Jetzt eigent sich z.B. die Newtoniteration zu einem geeigneten Startwert :



Edit:
Sorry, ich sag da noch ein Satz mehr zu:

Du gibst dir also einen Wert vor, wo du vermutest, dass dort eine Nullstelle in der Nähe sein könnte. z.B.

Jetzt setzt du in die Glechung ein:



Der Wert ist nun ein bisschen besser an die eigentliche Nullstelle angenähert (wenn du Glück hast). War dein Startwert nicht gut, so ist das nicht unbedingt der Fall.

Im nächsten Schritt kannst du dich nun noch besser an die Nullstelle annähern, wenn du durch ersetzt und berechnest.
MisterSeaman Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, oder mal ein einfacherer Ansatz:

Kannst Du ein bisschen Programmieren? Du könntest ein kleines Programm schreiben, das so lange Werte für m in die von mir umgeformte Gleichung einsetzt, bis ungefähr 0 herauskommt. (z.B. bis auf 5 Nachkommastellen genau) - läßt also sozusagen den Computer das machen, wozu Du keine Lust mehr hast.

Gruß

MisterSeaman
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du uns mal ein paar Beispieldaten für die Variablen reinposten sowie deine Definitionen für die Konstanten?

Ich würde mal gerne ein numerisches Verfahren mit QBasic überprüfen 8)
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
wenn du reelle Ergebnisse brauchst, kannst das machen wie schon
in den anderen Post's dargestellt,

hier nochmal :
bilde mit einem geeigneten Startwert m_0 beginnend
die Folge m_n nach folgender Vorschrift:

m_(n+1) = m_n - f(m_n)/g(m_n)

(das lässt sich leicht im Compi programmieren)


wobei








sofern der Startwert nicht völlig ungeeignet ist hast du nach
WENIGEN Iterationen das Ergebnis


oder halt mit simpler Schachtelung





du kannst dir aber auch die Mühe machen und folgendes
programmieren, m1 ist eine der (drei ?) Lösungen :










signum(K) = 1 für K > 0
signum(K) = -1 für K <= 0

für K > 0 kannst das signum(K) durch 1 ersetzen, in anderen
Worten das signum(K) kannst dann weglassen.



die Formel lässt sich auch ohne das 'signum' ausdrücken, nur kann
man dann das K nicht ausklammern, muss es durchmultiplizieren
UND bei der WURZEL als K² reinmultiplizieren !!



scheint so als ginge das reell über die Bühne ...
(hoffentlich ist jetzt kein Fehler mehr drin)


smile



Edit:
Formel editiert, war ein Fehler beim letzen Glied im Zähler vom m1= ... ,
Faktor 'K' vergessen !!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
du kannst prinzipiell ALLE gleichungen bis 4. grades exakt lösen,

nachzulesen in BRONSTEIN,
links:
http://www.keilbach.onlinehome.de/mathe/mallg/cardano.html

oder sehr viel ausführlicher/ länger:
http://matheplanet.com/default3.html?cal...aX=lr%3Dlang_de

in der praxis ist es so wie du vermutest, man arbeitet mit naäherungsverfahren, newton, regula falsi ....

mit maathematica oder solchen programmen weiß der pc, was zu tun ist.

wenns gar nicht weiter geht, schick ein mail
werner
PSM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
Danke für eure Antworten.

Leider kann ich nicht programmieren. Aber ich glaube, dass ich in der 9. Klasse Informatik bekomme. Würde man dann so etwas lernen?

@ Tobias: Hier sind ein paar Daten (in SI-Einheiten):
v= 10.000 m/s; G=6,673 E-11 m³/kg*s² ; T=90.000 s und M=2 E+31 kg (entspricht der 10fachen Sonnenmasse)
Es sollte m=4,48 E+29 herauskommen.

Ich werde mir mal die Links von Werner genauer anschauen.

MfG
Patrick
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Die Newtoniteration scheint ganz gut zu klappen. Hier mal mein Ergebnis:

Startwert: 100

Schritt - approximierte Nullstelle
0 - 100.0
1 - 1.0000000000000001E31
2 - 6.667358323687689E30
3 - 4.446145533261204E30
4 - 2.9664267173826054E30
5 - 1.9821792940570717E30
6 - 1.3306802687427104E30
7 - 9.061465027943268E29
8 - 6.430596779703258E29
9 - 5.033758073447454E29
10 - 4.5482816024798435E29
11 - 4.480269597845569E29
12 - 4.477328376812205E29
13 - 4.4772436421642764E29
14 - 4.4772412542567E29
15 - 4.4772411870063004E29
16 - 4.4772411851123686E29
17 - 4.477241185059031E29
18 - 4.477241185057529E29
19 - 4.4772411850574866E29
20 - 4.477241185057486E29
21 - ab hier verändert sich nichts mehr.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
wenn du die gleichung (noch) nicht exakt lösen kannst, dann verwende doch den PLOTTER von mathebord

gib dort ein bei f(x):

x^3 - 2.15E26*(2E31 + m)^2
mit den grenzen für x: 4.4E29:4.6E29

dann hast du einen wunderschönen grafen der gesuchten funktion, aus dem du die gesuchte Nullstelle ablesen kannst

kannst ja dann das intervall verfeinern.

man muß sich nur zu helfen wissen,
eine grafik, skizze ist immer gut, um sich einen überblick zu verschaffen
werner
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
Lösungs-Formel editiert,

hatte sich ein kleines Fehlerchen bei m1 = ... eingeschlichen,
siehe oben


smile



für das obige Beispiel liefert sie
m1 = 4.477241185057487*10^29
PSM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
Eine Gute Idee, Werner.
Das werde ich mal ausprobieren.

MfG
Patrick
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
Vom Excel hab ich NULL Ahnung, aber so eine Iteration müsste
sich mit etwas Kniff doch dort AUCH realisieren lassen ??

Etwa in dem Dreh,

'Zelle1' = v
'Zelle2' = T
'Zelle3' = M
'Zelle4' = v^3*T/..... (=K)

'Zelle5' = 'Zelle5' - f('Zelle5')/g('Zelle5')

bzw:
'Zelle5' = 'Zelle5' - ('Zelle4'*('Zelle3'+'Zelle5')^2 - 'Zelle5'^3)/
(2*'Zelle4'*('Zelle3'+'Zelle5') - 3*'Zelle5'^2)



Nun trägst den Startwert in 'Zelle5' ein und klickst solange
bis das Ergebnis still steht .....

Ich denke das lässt sich bestimmt realisieren mit dem ein oder
anderen Kniff. An einer ganz SIMPLEN VARIANTE kannst das ja mal
austüfteln.




Das lässt sich ja schon auf einem Taschenrechner realisieren.
So wüsste ich z.B. wie ich es auf dem Sharp 506V realisieren könnte,
sodass ich nach Eingabe der Werte NUR noch 10 - 20 mal die '='
Taste zu drücken bräuchte um die Iteration durchzuführen
und den 506V kann man nun NICHT als programmierbar bezeichnen.
Das einzige was er beherrscht, ist dass er sich 2 Formeln 'merken' kann

und das kann Excel doooch allemal :-oooo


smile
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Methode in Java:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
public class Newton {

    static double v, T, G, M, c;

    public static void main(String[] args) {
    
        v = 10000;
        G = 6.673E-11;
        T = 90000;
        M = 2E+31;
    
        c = (v*v*v*T) / (2*G*java.lang.Math.PI);
    
        double d = 100; // Startwert eintragen

        int iIter = 100;  // Anzahl Schritte
        
        for (int i=0; i<iIter; i++) {
            System.out.println(i + " - " + d);
            d = d - (f(d) / df(d));
        }

    }
    
    public static double f(double x) {
        return (x*x*x) - c*(M + x)*(M + x);
    }

    public static double df(double x) {
        return (3*x*x) - 2*c*(x-M);
    }
    
}
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
in excel ist das ein kinderspiel, auch ohne vba-programmierung.
ich muß es erst suchen, habs irgendwo schon gemacht, dann schick ich es dir,
und das schöne ist, das geht sozusagen ganz ohne iteration und du kannst die nullstelle "direkt" ablesen oder durch den diagrammassistenten grafisch darstellen lassen
bis bald
werner
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
hallo patrik,
wenn du die idee mit dem plotter meinst,
dann passe bitte auf, und gib alles exakt so wie geschildert (ich hoffe ich habs richtig gemacht) ein
punkte und keine komma als "dezimalpunkt", doppelpunkt etc.,
wenn alles stimmt, ist der graf super
werner
PSM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann man das auflösen?
OK, dann werde ich mich damit noch ein bisschen befassen.
Nochmals: danke für alle Antworten.

MfG
Patrick
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