Verteilung der relativen Häufigkeit, zentraler Grenzwertsatz

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blablablub Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung der relativen Häufigkeit, zentraler Grenzwertsatz
Sitze gerade zur Klausurvorbereitung an der folgenden Aufgabe:

Eine Münze wird n Mal unabhängig geworfen, wobei die 1 mit Wahrscheinlichkeit und die 0 mit Wahscheinlichkeit auftritt. Es sei das Ergebnis des k-ten Münzwurfs.

Bestimmen Sie
a) die Verteilung der relativen Häufigkeiten der Würfe mit dem Ergbenis 1.

b) die exakte Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit der Würfe mit 1 zwischen und liegt

c) eine Approximation mit Hilfe des zentralen Grrenzwertsatzes für die Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe b)

d) mit Hilfe von Teilaufgabe c) einen ungefähren, minimalen Wert n, sodass mit Wahrscheinlichkeit 0,9 die relative Häufigkeit der Würfe mit 1 im Intervall liegt. Dazu nimmt man die Tabelle der Standardnormalverteilung.

Meine Ideen:
a) Eine Verteilung ist ja so zu verstehen, dass sie einem Wert seine Wahrscheinlichkeit zuteilt. Und es gilt jetzt und . Die relative Häufigkeit kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen, 0 wenn ich keine 1 habe, und 1 wenn ich nur Einsen habe. Intuitiv würde ich sagen, dass , und für geworfenen Einsen. Stimmt das so und vor allem, kann man das so formulieren?

b) Die exakte Formel lautet meiner Ansicht nach

c) Zur Approximation benötige ich den Erwartungswert und die Varianz, der Erwartungswert ist und die Varainz , damit erhält man:


d) hier würde ich jetzt den letzten Ausdruck aus c) kleiner gleich 0,9 setzen, also und dann irgendwie nach n auflösen, wobei ich mir noch nicht sicher bin, wie ich das genau mache, weil ich ja auch p nicht kenne, jedoch weiß ich, dass gilt, vielleicht lässt es sich damit etwas vereinfachen.

Danke schonmal für eure Hilfe smile
melianarana Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ein paar Anmerkungen zur Aufgabenstellung:
1. Du meinst sicherlich , oder?
2. Meinst du die reguläre Definition der relativen Häufigkeit, also ?
Solche formalien sind zwar nicht sooo wichtig, kosten aber in der Klausur unnötig Punkte Augenzwinkern

Nun zu deinem Lösungsansatz:
a) Du hast hier die Wahrscheinlichkeit dafür, dass m-mal Kopf und anschließend m-n -mal Zahl geworfen wird. Ich nehme aber an, dass die Reihenfolge beliebig sein sollte.
Tipp: argumentier über die reguläre binomialverteilung, für ein fixes n ändert sich durch die "Relativierung" nichts an den Wahrscheinlichkeiten.

b) Das solltest du noch ausrechnen, oder zumindest mit der entsprechenden Formel aus a) noch etwas weiterrechnen.

c) Die Varianz stimmt nicht. In deiner Rechnung hast du Werte für Binomialverteilung und "relative Binomialverteilung" gemischt verwendet, so wird denke ich nichts sinnvolles herauskommen.

d), nicht ? Und gilt für alle , ist also nicht so hilfreich.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blablablub
c) Zur Approximation benötige ich den Erwartungswert und die Varianz, der Erwartungswert ist und die Varainz , damit erhält man:

Wenn man davon etwas retten wollte, müsste man hier ansetzen: Tatsächlich lautet die Rechnung (via Moivre-Laplace) hier so

,

denn die Summe der (auf die der ZGWS angewandt wird) ist nicht , sondern .
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