Definition Zeile einer Matrix

28.07.2016, 12:14

Tom2016

Definition Zeile einer Matrix

Meine Frage:
Hallo,
ich stehe vor dem folgenden Problem:
Ich habe eine Matrix A mit den Dimensionen n x m. In einer Formel würde ich für eine Matrix ein großes A in Fettdruck schreiben.
Eine Spalte i aus Matrix A würde ich mit mit a_i (kleines a fett gedruckt Index i unten) sreiben. Also ein Spaltenvektor.
Wie mache ich jetzt deutlich, dass a_k (kleines a fett gedruckt Index k unten) die k-te Zeile (Zeilenvektor) der Matrix A ist?

Gruß, Tom

Meine Ideen:
keine

28.07.2016, 12:27

kgV

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Wir haben eigentlich immer $\begin{eqnarray*} \mathbf{A}_{i-} \end{eqnarray*}$ für die i-te Zeile einer Matrix und entsprechend $\begin{eqnarray*} \mathbf{A}_{-k} \end{eqnarray*}$ für die k-te Spalte verwendet.

Der Strich deutet dabei an, dass der entsprechende Index variabel ist.

Lg
kgV
Wink

28.07.2016, 12:30

Tom2016

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Der Strich bedeutet was fiolgt steht als Index!
Also a_i bedeutet $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$

28.07.2016, 12:36

Tom2016

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Bei meiner Definition soll ein Vektor (Kleinbuchstabe) und keine Matrix (Großbuchstabe) stehen.

Vieleicht ist es einfacher die Frage zu beantworten, wie unterscheide ich eine Spalten und einen Zeilenvektor im Formelzeichen?
Ein Prof sagte einfach zu mir es gibt nur Spatenvektoren und einen Zeilenvektor produziert man durch das Transponiet Zeichen. Halte ich für nicht richtig.
Gruß, Tom

28.07.2016, 12:43

kgV

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Nun, es stimmt schon, dass Zeilenvektoren die Transponierten von Spaltenvektoren sind, aber für eine (nichtsymmetrische) Matrix macht es, wie du richtig erkannt hast, einen essentiellen Unterschied, ob man Zeilen oder Spalten betrachtet.

Das Problem ist, dass es keine allgemeingültige Festlegung gibt, wie man Zeilen- und Spaltenvektoren notationell trennt. Da gibt es unterschiedliche Konventionen. Meist schreibt man einfach am Anfang hin, was man meint.

Wenn du für Vektoren Kleinbuchstaben verwenden willst, dann könntest du ja mit $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ Spalten und z.B. mit $\begin{eqnarray*} \tilde a_i \end{eqnarray*}$ Spalten bezeichnen. Solange du irgendwo festhältst, was deine Notationen bedeuten, bist du da ziemlich frei.

28.07.2016, 12:54

Tom2016

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Mathe und Algebra ist doch eine klar formulierte Sache ohne Interpretationsspielraum ! Lehrer

Herlich

Leider sind die Erweiterungen wie Dach oder Tilde bei mr schon anders belegt.

Ich meine mich zu erinnern mal
$\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ als Spaltenvektor
$\begin{eqnarray*} a^{i} \end{eqnarray*}$ als Reihenvektor
in einem Mathebuch gesehen zu haben. Aber sehr grlücklich finde ich diese Form nicht. Hab sie auch danach nirgendwo mehr gesehen.
Gruß, Tom

28.07.2016, 13:16

kgV

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Zur Not wirds diese Notation tun, auch wenn ich sie ebenfalls ziemlich unschön finde... Vielleicht einfach einen zweiten Index dazufügen mit z für Zeile oder s für Spalte. Ist aber auch nicht viel besser

28.07.2016, 13:17

Elvis

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Zitat:

Original von Tom2016
Mathe und Algebra ist doch eine klar formulierte Sache ohne Interpretationsspielraum !

Das kann nicht sein. In jeder Vorlesung, in jedem Buch und in jedem Paper wird die Notation festgelegt, und man versucht sich dann daran zu halten, was auch nicht immer leicht ist. Es gibt viele Konventionen und Schreibweisen, aber eine immer und überall einheitliche und verbindliche mathematische Sprache gibt es nicht.
In deinem Fall gibt es vermutlich deshalb keine einheitliche Schreibweise, weil Vektoren Elemente eines Vektorraums V über einem Körper K sind. Bezüglich einer Basis von V kann man jeden Vektor eindeutig als Komponentenvektor mit Komponenten aus K schreiben. Ob man den Komponentenvektor senkrecht oder waagerecht aufs Papier schreibt, ist völlig egal.
Dein Prof hat recht. Es ist in der linearen Algebra üblich, Komponentenvektoren als Spaltenvektoren aufzufassen. Für Zeilen und Spalten von Matrizen $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1m} \\ ...& ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nm} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreibt man dementsprechend $\begin{eqnarray*} a_j=\begin{pmatrix} a_{1j} \\ ... \\ a_{nj} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für Spalten und $\begin{eqnarray*} a_i^T=\begin{pmatrix} a_{i1} &, ... , & a_{im} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{i1} \\ ... \\ a_{im} \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$ für Zeilen.
So ist es üblich, man kann aber bei bedarf auch jede andere sinnvolle Vereinbarung treffen.

28.07.2016, 13:47

Tom2016

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Ich habe nicht mit rein mathematischen Vektorproblemen zu tun wo es egal ist ob ein Vektor eine Zeile oder eine Spalte ist. In der Technik sind die Dimensionen und vorallem Richtungen wichtig! Ist die Richtung Zeit oder Messgröße?

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich also im Text schreibe das ein Vektor $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ schreibe ist jedem sofort klar, das ich
$\begin{eqnarray*} U_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
meine.

Wenn ich dann im Text schreibe das ein Vektor $\begin{eqnarray*} U^T_{2} \end{eqnarray*}$ schreibe ist jedem sofort klar, das ich
$\begin{eqnarray*} U^T_{2} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
meine.

Und für das Skalarprodukt dieses Vektors ist dan auch üblich,
$\begin{eqnarray*} U^T_{2}*(U^T_{2})^T = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = 77 \end{eqnarray*}$
zu schreiben? Ist das dein ernst?
Gruß, Tom

28.07.2016, 14:32

Elvis

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Ich habe nie behauptet, das sei sofort jedem klar. Das ist es natürlich nicht. Es ist in der linearen Algebra völlig egal, wie man Komponentenvektoren schreibt, man muss sich nur einigen. Wie man sie abkürzt ohne Verwirrung zu stiften, ist ein weiteres Problem. Wenn das nicht gelöst werden kann, muss man eben auf Abkürzungen verzichten.

"In der Technik sind die Dimensionen und vorallem Richtungen wichtig! Ist die Richtung Zeit oder Messgröße?"
Mit solchen Aussagen und Fragen kann ich überhaupt nichts anfangen.

28.07.2016, 14:54

Tom2016

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Stell dir vor du lernst Algebra bzw. Autofahren auf einem leeren Parkplatz. Dabei ist das Grundprizip anfahren schalten geradeausfahren und spätestens vor der nächsten Wand stehenbleiben.
Jetzt willst du die Algebra auf Technik anwenden. Fährst du auf der Straße mit Gegenverkehr nach dem selben Grundprinzip (anfahren schalten geradeausfahren und spätestens vor der nächsten Wand stehenbleiben) oder kommt da evt. noch etwas hinzu?

Ist also eine Richtung egal?
Wenn aus einer Matrix mit Messwerten eine Dimension eine Zeit darstellt und eine andere eine Messgröße abso z.B. Temperatur 1 bis 6, dann hat es sehrwohl eine Auswirkung ob ein Zeilenvektor 6 Temperaturen zu einem Zeitpunkt oder ein Spaltenvektor eine Temperatur für alle Zeitpunkte beinhaltet.
Also merke in der Technik ist die Richtung von Vektoren nicht egal!

Wenn jeder Autor eines Buches oder Artikels dies eindeutig zu Beginn definiert hätte, müsste ich hier nicht fragen.

Gruß, Tom

28.07.2016, 15:47

Guppi12

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Hallo Tom,

ich weiß nicht, was du nun hören möchtest, es gibt nunmal keine einheitliche Definition bzw. Konvention, wie man so etwas zu schreiben hat. Das kann es auch garnicht geben, weil es in der Mathematik viel zu viele Objekte gibt und es somit nicht genügend sinnvolle Bezeichner, um eine injektive Zuordnung 'Begriffe -> Bezeichner' zu finden. Für die wichtigsten Begriffe gibt es sowas natürlich schon, aber die Spalten/Zeilen einer Matrix gehören nicht dazu.

Wenn du also selbst etwas verfassen möchtest und dafür eine Notation suchst, dann denk dir eine aus, definiere sie zu Beginn und halte dich dann daran, genügend Vorschläge gab es in diesem Thread doch allemal.

Dass andere Autoren von Büchern/Artikeln das nicht machen, ist natürlich nicht gut, aber nichts wobei das Forum hier helfen kann. Das muss man sich dann aus dem Zusammenhang erschließen.

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