Differentialgleichung lösen

29.07.2016, 09:44	pddy	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung lösen Meine Frage: Hallo zusammen Ich möchte eine Differentialgleichung lösen, die aus einem thermodynamischen System stammt. Ich suche die Lösung von Ti Die Gleichung lautet: $\begin{eqnarray} \frac{dQ_{LW}}{dt} =k\cdot A(T_{i}-T_{W}) \end{eqnarray}$ In der Gleichung sind k und A konstant. Weiterhin lassen sich folgende Zusammenhänge darstellen: $\begin{eqnarray} -m_{i} \cdot c_{V} \cdot \frac{d T_{i} }{d t}=\frac{dQ_{LW}}{dt} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_{W} \cdot c_{W} \cdot \frac{d T_{W} }{d t}=\frac{dQ_{LW}}{dt} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Problem ist, dass TW nicht konstant ist. Deshalb weis ich nicht einmal wo ich anfangen soll. Unter der Annahme, dass TW konstant ist, ergibt sich der Temperaturverlauf Ti mit der Anfangsbedingung Ti(0)=Ti0 zu: $\begin{eqnarray} T_{i}=T_{W}+(T_{i0}-T_{W})\cdot e^{-\frac{t\cdot k_{i} \cdot A_{i} }{m_{i} \cdot c_{V} } } \end{eqnarray}$
29.07.2016, 10:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beseitige die Variable $\begin{eqnarray} Q_{LW} \end{eqnarray}$ , indem du die 2.Gleichung in die beiden anderen Gleichungen einsetzt. Dann hat man nur noch ein Gleichungssystem aus 2 Differenzialgleichungen $\begin{eqnarray} m_ic_v\dot T_i+kAT_i-kAT_w=0 \end{eqnarray}$ __________(Gleichung A) $\begin{eqnarray} \tfrac{m_ic_v}{m_wc_w}\dot T_i+\dot T_W=0 \end{eqnarray}$ ________________________(Gleichung B) Integriert man die Gleichung B auf beiden Seiten, so erhält man $\begin{eqnarray} \tfrac{m_ic_v}{m_wc_w}T_i+ T_W=C \end{eqnarray}$ Dabei ist C eine Integrationskonstante, die sich später ergibt. Umstellen der letzten Gleichung nach $\begin{eqnarray} T_W \end{eqnarray}$ und einsetzen in Gleichung A liefert eine Differenzialgleichung für $\begin{eqnarray} T_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m_ic_v\dot T_i+kAT_i-kA\cdot \underbrace{\left ( C-\tfrac{m_ic_v}{m_wc_w}T_i\right )}_{T_W}=0 \end{eqnarray}$ Umordnen liefert eine lineare, inhomogene Differenzialgleichung für $\begin{eqnarray} T_i \end{eqnarray}$ mit konstanten Koeffizienten, wobei die Inhomogenität auf der rechten Seite eine Konstante ist $\begin{eqnarray} \dot T_i+\underbrace{kA\cdot \left ( \tfrac{1}{m_ic_v}+\tfrac{1}{m_wc_w}\right )}_{\text{Konstante}} \cdot T_i=\underbrace{\tfrac{kAC}{m_ic_v}}_{\text{Konstante}} \end{eqnarray}$ Die Lösung dieser Gleichung lautet mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} T_i(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_i(t)=\underbrace{C\cdot \left ( 1+\tfrac{m_ic_v}{m_vc_w}\right )}_{\text{Konstante}}\cdot \left [1-\exp\left ( -kA\left ( \tfrac{1}{m_ic_v}+\tfrac{1}{m_wc_w}\right )\cdot t\right ) \right ] \end{eqnarray}$ Für große Zeiten $\begin{eqnarray} t\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ konvergiert die Lösung gegen $\begin{eqnarray} T_i\rightarrow C\cdot \left ( 1+\tfrac{m_ic_v}{m_vc_w}\right ) \end{eqnarray}$ Man kann also die Integrationskonstante C so wählen, dass der gewünschte Grenzwert herauskommt.
29.07.2016, 13:32	pddy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe. Die Ergebnisse kamen ja schneller als ich nachrechnen konnte So mit der Struktur sieht es für mich dann auch schon wesentlich vertrauter aus. Bis zur Aufstellung der Differentialgleichung konnte ich alle Schritte nachvollziehen. Könntest du noch die Schritte zur Lösung der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung T(0)=T0 zeigen? In welchem Schritt wird die Integrationskonstante C bestimmt?
01.08.2016, 09:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte folgende lineare, inhomogene Differenzialgleichung hergeleitet $\begin{eqnarray} \dot T_i+a \cdot T_i=b \end{eqnarray}$ ______________________(Gleichung 1) Die Konstanten a, b hatten die Gestalt $\begin{eqnarray} a=kA\cdot \left ( \tfrac{1}{m_ic_v}+\tfrac{1}{m_wc_w} \right ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\tfrac{kAC}{m_ic_v} \end{eqnarray}$ Darin war C die Integrationskonstante, welche nach Integration der Gleichung B in meinem letzten Beitrag entstand. Die Anfangsbedingung ist $\begin{eqnarray} T_i(0)=0 \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------------------------ Lösung: Durch Einsetzen kannst du schnell nachprüfen, dass die Lösung lautet (ohne Berücksichtigung der Anfangsbedingung) $\begin{eqnarray} T_i(t)=K\cdot e^{-at}+\tfrac{b}{a} \end{eqnarray}$ Durch die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} T_i(0)=0 \end{eqnarray}$ wird die Konstante $\begin{eqnarray} K=-\tfrac{b}{a} \end{eqnarray}$ festgelegt. Einsetzen liefert die endgültige Lösung $\begin{eqnarray} T_i(t)=\tfrac{b}{a}\cdot \left ( 1-e^{-at}\right ) \end{eqnarray}$ Da der Quotient $\begin{eqnarray} \tfrac{b}{a} \end{eqnarray}$ seinerseits noch die beliebige Integrationskonstante C enthält (siehe meinen letzten Beitrag), können wir diesen Quotienten $\begin{eqnarray} \tfrac{b}{a} \end{eqnarray}$ einfach durch die Konstante C ersetzen und erhalten die Lösung $\begin{eqnarray} T_i(t)=C\cdot \left ( 1-e^{-at}\right ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=kA\cdot \left ( \tfrac{1}{m_ic_v}+\tfrac{1}{m_wc_w} \right ) \end{eqnarray}$ Für große Zeiten $\begin{eqnarray} t\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ konvergiert diese Lösung offenbar gegen die Konstante C. Du kannst diese Konstante C so wählen, dass der von dir gewünschte Grenzwert herauskommt.
01.08.2016, 15:42	pddy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung gefällt mir. Wenn in dem gleichen System ein zufließender Massenstrom hinzu kommt und die Temperatur TW nicht mehr konstant ist, erhalte ich die Gleichungen aus dem angehängten Bild. Lassen sich diese überhaupt noch analytisch lösen? Mit Matlab Simulink habe ich versucht das System analytisch zu lösen. Jedoch kommt die Berechnung je nach Eingangsgrößen an seine Grenzen. Was wäre eine sinnvolle Variante um die Gleichungen zu lösen?
02.08.2016, 09:18	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Gleichungssystem ist nicht linaer, so dass i.A. keine Lösungstheorie existiert. Nur in wenigen "Glücksfällen" gibt es eine analytische Lösung. Meist muss man numerisch lösen. Du schreibst, dass bei deinem nichtlinearen Gleichungssystem die Temperatur $\begin{eqnarray} T_W \end{eqnarray}$ nicht mehr konstant sei. Beachte, dass $\begin{eqnarray} T_W \end{eqnarray}$ auch bei dem gelösten linearen Gleichungssystem nicht konstant war, sondern sich zeitlich änderte. Die 3.Formel in meinem 1.Beitrag lautete nämlich $\begin{eqnarray} \tfrac{m_ic_v}{m_wc_w}T_i+ T_W=C \end{eqnarray}$ Diese Gleichung bedeutet folgendes: Betrachtet man ein Koordinatensystem mit einer $\begin{eqnarray} T_i \end{eqnarray}$ -Achse und einer $\begin{eqnarray} T_W \end{eqnarray}$ -Achse, so liegt Punkte $\begin{eqnarray} (T_i\|T_W) \end{eqnarray}$ zu jedem Zeitpunkt t auf einer Geraden, ähnlich wie die Punkte (x\|y) auf einer Geraden y=mx+n liegen. Wir hatten ausgerechnet, dass die Temperatur $\begin{eqnarray} T_i(t) \end{eqnarray}$ monoton wächst und und für $\begin{eqnarray} t\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gegen einen festen Wert konvergiert. Folglich bewegt sich der Punkt $\begin{eqnarray} (T_i\|T_W) \end{eqnarray}$ entlang der Geraden nach rechts, wobei $\begin{eqnarray} T_W \end{eqnarray}$ immer kleiner wird. Für $\begin{eqnarray} t\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ konvergiert der Punkt $\begin{eqnarray} (T_i\|T_W) \end{eqnarray}$ gegen einen Endpunkt, der natürlich ebenfalls auf der Geraden liegt.
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03.08.2016, 07:59	pddy	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Was ist, wenn TW konstant ist, so dass alles außer Ti und pi konstant wird? Wie ich das sehe, wird es dadurch auch nicht linear.
03.08.2016, 09:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} T_W \end{eqnarray}$ konstant ist, dann gilt $\begin{eqnarray} \dot T_W=0 \end{eqnarray}$ . Damit wird aus der 2.Gleichung $\begin{eqnarray} 0=\frac{k_iA_i(T_i-T_w)-k_uA_u(T_W-T_u)}{c_wm_w} \end{eqnarray}$ Das ist keine Differenzialgleichung mehr. Umstellen nach $\begin{eqnarray} T_i \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} T_i=\tfrac{k_uA_u}{k_iA_i}(T_W-T_u)+T_W \end{eqnarray}$ Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray} T_i \end{eqnarray}$ ebenfalls konstant ist, woraus folgt $\begin{eqnarray} \dot T_i=0 \end{eqnarray}$ . Setzt man $\begin{eqnarray} \dot T_i=0 \end{eqnarray}$ wiederum in die erste gegebene Differnzailgleichung ein, so kann man auch diese nach $\begin{eqnarray} T_i \end{eqnarray}$ umstellen. Mir schein das etwas unrealistisch. Prüfe mal, ob dein nichtlineares Gleichungssystem richtig ist.

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