Fragen zur Unendlichkeit

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Sina95 Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zur Unendlichkeit
Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein bisschen über Unendlichkeiten nachgedacht, weil sie interessant sind und mit unserem Alltag nichts zu tun haben. Hier ein paar Gedanken, von denen ich mal hören wollte, was "echte" Mathematiker zu sagen Big Laugh


Nehmen wir einen Kreis mit Durchmesser 1. Dieser hat unendlich viele Punkte.
Nun nehmen wir einen Kreis mit Durchmesser 2. Dieser hat 2 mal unendlich viele Punkte. Es gilt jedoch unendlich+unendlich=unendlich, also ist die Anzahl der Punkte bei beiden gleich, oder?


Nehmen wir die Summe 1+2+3+4+5+6... Multipliziere ich (nach Ramanujan) mit 4 und subtrahiere die Gleichungen, erhalte ich 1-2+3-4+5-6... Ordne ich diese Reihe um, kann ich sie gegen jede erdenkliche Reihe konvergieren lassen. Ist es das, was Riemann mit seinem Theorem meinte?


Es wäre nett, wenn jemand helfen kann. Ich bin jemand, die sich für Mathematik interessiert smile

Meine Ideen:
sybok Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sina95

Ich versuche mal eine etwas saloppe Antwort zu geben:
Ja, man kann sagen, beide Kreise haben gleich viele Punkte, für was man gängig unter "Punkt", "Kreis" und "Grösse einer Menge" versteht. Um zu entscheiden, dass ist, für Mengen und , sucht man eine injektive Funktion (ein einfaches aber geniales Konzept). Man unterscheidet, quasi im mathematischen Alltag, zwischen abzählbar unendlich (soviel wie es natürliche Zahlen hat) und überabzählbar unendlich (soviel wie es reelle Zahlen hat). Ausrdücke/"Rechnungen" wie hat man tendenziell eher nicht so gerne (da gäbe es weiteren Klärungsbedarf). Tiefergehende Überlegungen zu "den Arten/Grössen von Unendlich", abzählbar resp. überabzählbar, sind ziemlich spannend und führen dich quasi direkt zur Quelle der Mathematik, zur axiomatischen Mengenlehre (iinsbesondere zur Kontinuumshypothese) und der Mathematik als stringent aufgebaute logische Theorie.
Dem wink mit Riemann kann ich leider nicht folgen.
Ich denke mal, weitere Antworten/andere Erklärungsversuche auf diesen spannenden und schwierigen Fragenkomplex sind willkommen smile
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielen Dank für die Antwort, das klingt super, was du da schreibst!


Habe mal weiter nachgedacht.
Nehmen wir eine Kugel mit Durchmesser 1 im euklidischen . Können wir nun ebenfalls jedem Punkt der Kugeloberfläche einen Punkt des Kreises mit Durchmesser 1 zuweisen? Ich kann mir vorstellen ja, weiß aber nicht, wie das bewiesen werden kann.


Nehmen wir nun einen eindimensionalen Raum. Nehmen wir die komplexen Zahlen dazu, erhalten wir die Gaußsche Zahlenebene.
Wenn ich nun einen zweidimensionalen Raum nehme und um komplexe Zahlen erweitere, kann ich das als einen dreidimensionalen Raum interpretieren? Ich kann mir vorstellen, dass eine Kugel in diesem dreidimensionalen Raum, vorausgesetzt sie durchläuft sowohl den Imaginärteil als auch den reellen Teil, nicht mehr injektiv auf eine Kugel oder einen Kreis im euklidischen Raum abgebildet werden kann, beziehungsweise dies nicht ohne ein geeignetes Axiom entscheidbar ist.

Ähnliches stelle ich mir bei einem dreidimensionalen Raum vor, der um die komplexen Zahlen erweitert ist und somit ein vierdimensionales Irgendwas ergibt und bei einem Raum, der von Quaternionen aufgespannt wird, welcher im Gegensatz zum erstgenannten Raum einen Schiefkörper darstellt. Ist dies korrekt?



Das war nun sehr schwer ausgedrückt, sorry, aber letztendlich ist die Frage: Inwiefern unterscheidet sich der euklidische zweidimensionale Raum von der Gaußschen Zahlenebene, bzw. ein dreidimensionaler Raum von einem zweidimensionalen mit komplexen Zahlen usw....
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme zu, dass Unendlichkeit sehr interessant ist; es ist falsch, dass Unendlichkeit nichts mit unserem Alltag zu tun hat. Denn schon im nächsten Satz gibst Du ein Beispiel für eine unendliche Punktmenge: ein Kreis mit Radius 1 hat unendlich viele Punkte.

Der nächste Irrtum ist, dass ein Kreis mit Radius 2 mehr Punkte hat als ein Kreis mit Radius 1. Die Länge eines Kreises vom Radius ist also ist ein Kreis vom Radius 1 halb so lang wie ein Kreis vom Radius 2. Ein Kreis um (0,0) ist die Menge aller Punkte . Nun kann man die bijektive Abbildung betrachten, also hat der Kreis mit Radius 2 genau gleich viele Punkte wie der Kreis mit Radius 1. Alle Kreis haben gleich viele Punkte, nicht mehr und nicht weniger.

Noch viel interessanter ist, dass nach Georg Cantor die Potenzmenge einer Menge M, das ist die Menge P(M) der Teilmengen einer Menge, eine echt größere Mächtigkeit als die Menge hat, d.h. es gibt keine bijektive Abbildung zwischen M und P(M). Es gibt abzählbare Mengen (z.B. die natürlichen Zahlen), und wenn man den Turm der Potenzmengen betrachtet kommt man zu immer größeren Unendlichkeiten.

Folgen und Reihen können konvergieren oder auch nicht. Dafür gibt es ziemlich komplizierte Theorien, eine davon ist die Analysis reeller Zahlen.

Nun zu deinen neuesten Fragen.

Man kann die ganze Kugel auf den Punkt (0,1) abbilden. Oder die Kugeloberfläche auf den Äquator, indem man die geografische Breite vernachlässigt (Nord-und Südpol werfen wir auf einen beliebigen Punkt des Kreises). Das geht, das ist eine Funktion, diese ist aber nicht bijektiv.

Die komplexen Zahlen sind als Menge nichts wesentlich anderes als , also ist als Menge nichts anderes als . Eine Kugel ist eine Kugel, egal in welcher dieser Mengen, sie unterscheiden sich nicht. Als Vektorräume, wie man sie in der linearen Algebra betrachtet, gibt es zu jeder Dimension im wesentlichen genau einen reellen Vektorraum, das ist der
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

danke für deine hilfreiche Antwort!

Die Anzahl der Kreispunkte war bereits klar, trotzdem nochmal danke für die Zusammenfassung!

Was du über Cantor schreibst, ist sehr interessant, ich werde mich da mal informieren. Ich weiß bereits, dass sich Mengen per Definition nicht selbst enthalten (sonst kommt es zur Russelschen Antinomie), sodass der Beweis nichttrivial wird dadurch :P

Eine Frage zu den neuesten Fragen: Beweist die Tatsache, dass es sich bei den Beispielen nicht um bijektive Funktionen handelt, dass die Anzahl der Punkte unterschiedlich ist? Wäre jetzt meine Vermutung...

Die Anmerkung zu komplexen Zahlen klingt sinnvoll, doch wie wird sie bewiesen? Schließlich wurde bereits gezeigt, dass ein vierdimensionaler reeller Raum von dem der Quaternionen unterschieden werden kann(damit meine ich, dass andere Rechengesetze gelten).
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Original von Sina 95
Die Anmerkung zu komplexen Zahlen klingt sinnvoll, doch wie wird sie bewiesen? Schließlich wurde bereits gezeigt, dass ein vierdimensionaler reeller Raum von dem der Quaternionen unterschieden werden kann(damit meine ich, dass andere Rechengesetze gelten).


Wie meinst du das mit dem Unterscheiden? Man kann problemlos auf dem eine Multiplikation definieren, sodass sich genau die Struktur der Quaternionen ergibt.
 
 
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

So weit ich verstanden habe, gilt im das Kommutativgesetz der Multiplikation. Das unterscheidet diesen doch, oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man spricht bei unendlichen Mengen nicht von Anzahl der Punkte, das Wort Anzahl benutzt man nur bei endlichen Mengen. Im allgemeinen, also bei endlichen und unendlichen Mengen spricht man von Mächtigkeit. Es gibt also insbesondere keine Anzahl von Kreispunkten, die Mächtigkeit der Menge der Kreispunkte ist gleich der Mächtigkeit des Kontinuums
Zwei Mengen und heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Wie das Beispiel der identischen Abbildung zeigt, ist die Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig wie sie selbst (das ist nicht so erstaunlich, denn es gilt für jede Menge M). Man kann aber auch die Abbildung betrachten, sie beweist sicher nicht, dass und verschiedene Mächtigkeiten haben. Das zeigt, dass deine "Vermutung" falsch ist.
muss man nicht beweisen, man definiert einfach die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen (zusammen mit geeigneter Addition und Multiplikation wird daraus der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Körper der komplexen Zahlen).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Menge, in einer Menge gilt gar nichts, sie ist einfach nur die Zusammenfassung ihrer Elemente. Erst durch die Definition von Verknüpfungen wie Addition usw. wird die Menge zu einer algebraischen Struktur, eine Menge kann viele verschiedene Strukturen tragen.
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, damit wären meine Fragen beantwortet und meine Gedanken widerlegt xD Es ist scheinbar sinnlos, sich über die Anzahl der Punkte eines Kreises Gedanken zu machen. Vielmehr ist die Frage nach der Mächtigkeit entscheidend, welche durch die Anzahl der Dimensionen bestimmt wird.
Was ich aber zu meiner Verteidigung sagen muss: ich habe eben gelesen, dass bei endlichen Mengen Mächtigkeit die Anzahl der Elemente angibt. Und weil diese Voraussetzung erfüllt ist, gilt meine Vermutung für endliche Mengen. Bei unendlichen Mengen muss ich schauen, ob meine zu vergleichende Menge als Teilmenge in der anderen Menge (zb. ) enthalten ist.


Was ich noch immer nicht verstehe: wie kann mit unendlichen Reihen gerechnet werden, wenn der Riemannsche Umordnungssatz gilt?




LG Sina
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es ist nicht so einfach, wie Du denkst. Die Mächtigkeit hat nichts mit der Dimension zu tun. Die folgenden Mengen sind z.B. gleichmächtig, nämlich abzählbar, d.h. sie haben die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen: , der n-dimensionale rationale Vektorraum für und der Körper der algebraischen Zahlen .

Mit Reihen wird gerechnet, wenn sie konvergieren. Wozu sollte man mit Reihen rechnen, die nicht konvergieren ? Wozu sollte man Reihen umordnen, wenn sie nach der Umordnung einen anderen oder keinen Grenzwert haben ?
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Nein, es ist nicht so einfach, wie Du denkst. Die Mächtigkeit hat nichts mit der Dimension zu tun. Die folgenden Mengen sind z.B. gleichmächtig, nämlich abzählbar, d.h. sie haben die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen: , der n-dimensionale rationale Vektorraum für und der Körper der algebraischen Zahlen .



Oh, vielen Dank für die Richtigstellung! Da werde ich selbständig versuchen zu verstehen, was genau die Mächtigkeit einer (unendlichen) Menge überhaupt ausmacht.


Zitat:
Mit Reihen wird gerechnet, wenn sie konvergieren. Wozu sollte man mit Reihen rechnen, die nicht konvergieren ? Wozu sollte man Reihen umordnen, wenn sie nach der Umordnung einen anderen oder keinen Grenzwert haben ?


Weil mich das ganze sehr verunsichert hat, welche mathematischen "Manipulationen" beim Umgang mit unendlichen Reihen "erlaubt" sind, sodass es logisch nachvollziehbar wird. So weit ich es verstanden habe, sind Klammersetzungen, Umordnungen usw bei konvergenten Summen erlaubt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, das wäre viel zu einfach, wenn man jede konvergente Reihe reeller Zahlen umordnen könnte. Genau das kann man eben nicht. Die gute Nachricht: Man kann jede absolut konvergente Reihe beliebig umordnen ohne den Grenzwert zu verändern (das sagt "Der große Umordnungssatz").

Warum hat Riemann sich über Reihen Gedanken gemacht ? ( Das ist eine interessante Frage ! und hier kommt die Antwort : ) Riemann hat das Riemann-Integral erfunden, und was ist ein Riemann-Integral (?) . Ja genau: der Grenzwert einer Reihe, falls die Flächen oberer Treppenfunktionen und die Flächen unterer Treppenfunktionen über und unter einer gegebenen reellen reellwertigen Funktion existieren und übereinstimmen. ( Lebesgue-Integral ist auch nichts anderes als Reihen, aber noch viel interessanter und so schweinisch kompliziert, dass ich mir gerade mal wieder eine Vorlesung "Analysis III: Maß- und Integrationstheorie" reinziehe. Danach kommt "Analysis IV: Funktionentheorie" , und worum geht es da ? stimmt : holomorphe komplexe Funktionen sind Potenzreihen . Da kann man auch sehr schön integrieren. Der Spaß mit den Reihen hört nie auf ... )
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh, der große Umordnungssatz! Das war ein Stichpunkt, der fehlte. Endlich hab ich's begriffen, danke! Big Laugh Big Laugh

Deine weiteren Ausführungen sind auch auf den Punkt gebracht, vielen Dank!


Meine letzte Frage wäre nun, ob die Rechenmethode, mit der Ramanujan eine divergierende Reihe konvergieren lässt (was nach Riemann möglich ist), auch bei absolut konvergierenden Reihen anwendbar ist.

Was er macht:






Für mich klingt es so, als würde er die Reihe

geschickt umordnen. Dies wär in "standard calculus" nur in absolut konvergierenden Reihen möglich, ist das richtig?
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Reihen wie oder wird man sicher nicht durch Umordnen zum Konvergieren bringen, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden, was aber eine notwendige Voraussetzung dafuer ist, dass eine Reihe ueberhaupt konvergieren kann.

Als Summenwert einer unendlichen Reihe nimmt man den Grenzwert der Folge der Partialsummen. Falls der Grenzwert aber gar nicht existiert, hat die Reihe schlicht keine Summe.

Bei der ersten Reihe ist diese Folge

.

Sie hat keinen Grenzwert, ist aber bestimmt divergent, d.h. man koennte



notieren, womit die Reihe aber trotzdem keine konkrete Summe hat, denn ist nur eine Schreibfigur und keine Zahl.

Bei der zweiten Reihe ist die Folge der Partialsummen

,

was man bestenfalls als



notieren kann, denn die Folge ist unbestimmt divergent.

Kommen wir zu Deiner komischen Rechnung.



Wir haben gesehen, dass fuer bestenfalls in Frage kommt, das ist aber keine Zahl, mit der man so rechnen koennte, als sei es eine.



Wir haben gesehen, dass diese Reihe gar keine Summe hat. Da kann man schlecht ansetzen und zu allem Ueberfluss sogar noch rausbekommen!

Schliesslich:



Diese Reihe hat wie gesagt gar keine rechte Summe, man kann dafuer bestenfalls suggestiv notieren. Unabhaengig davon, was nun mit "wirklich" gemeint sein soll: Es gilt ganz bestimmt .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Über derlei Reihen a la Ramanujan, die dem normalen Verständnis von Reihen widersprechen, ist auch hier schon mal ziemlich ausführlich diskutiert worden:

Warum ist 1+2+3+4+... gleich -1/12 ?
Konvergenz der Summe aller natürlichen Zahlen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was man über reelle Zahlen, Folgen und Reihen und deren Konvergenz und Divergenz wissen muss, wird in Analysis I gelehrt. Wer das wissen will, darf nicht spekulieren, sondern muss diesen Stoff ernsthaft studieren.

Ramanujan ist ein ganz anderes Thema, das ist viel schwieriger zu begreifen und gehört zur Zahlentheorie; darüber kann man mit Laien nicht reden. Wer mehr wissen will, bekommt bei Wiki einen ersten Eindruck : https://de.wikipedia.org/wiki/S._Ramanujan Und dann kann man auch mal ein Buch zur Hand nehmen: Robert Kanigel: Der das Unendliche kannte. Vieweg-Verlag, 1995, ISBN 3-528-16509-X, deutsche Übersetzung durch Albrecht Beutelspacher von The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. Charles Scribner’s Sons, New York 1991. ISBN 0-684-19259-4.
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 005
Reihen wie oder wird man sicher nicht durch Umordnen zum Konvergieren bringen, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden, was aber eine notwendige Voraussetzung dafuer ist, dass eine Reihe ueberhaupt konvergieren kann.


So weit ich verstehe, ist es Folgendes, was Riemann mit seinem Satz aussagt. Nehmen wir mal Folgendes:





Das Spiel geht immer so weiter, weil 2 ungerade Zahlen summiert stets gerade werden und in die Menge aller geraden Zahlen enthalten ist.


Was Riemann beweist ist, dass für jede bedingt konvergente Reihe durch Umordnung gilt:





Meine Frage war, ob Ramanujan die Reihe auch durch Umordnung konvergieren lässt. Und ja, der "Beweis" kann als geschickte Umordnung gesehen werden, wie ich bereits gezeigt habe.
Danke an HAL 9000, durch dich bin ich mir sicher geworden. Terence Tao hat nämlich mal einen Blogeintrag geschrieben, in dem er es genauestens erläutert.
Durch ihn habe ich auch verstanden, warum die Ramanujansumme dennoch sinnvoll ist, zu bilden:
terrytao.wordpress(punkt)com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/

Die "Analytische Fortsetzung" der Riemannschen Zetafunktion für stimmt mit der Ramanujansumme überein. Dies ist der Grund, warum sie auch praktisch anwendbar ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sina 95
Was Riemann beweist ist, dass für jede bedingt konvergente Reihe durch Umordnung gilt:


Vielleicht meinst du ja das richtige, aber so ist es falsch formuliert. unglücklich

Ich denke mal, du meinst das:

Zitat:
Für jede nur bedingt, aber nicht absolut konvergente Reihe und jede reelle Zahl gibt es eine Indexumordnung (d.h., ist eine bijektive Funktion ) mit .

D.h., es ist nicht eine feste Umordnung , sondern für jeden gewünschten Wert eine andere.


Deine vorgenannten Beispiel sind aber komplett untauglich dafür, wie 005 schon ausgeführt hat.
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Entschuldigung, natürlich ist es für jeden Grenzwert eine andere Umordnung, das war keine Absicht.


Zitat:
Deine vorgenannten Beispiel sind aber komplett untauglich dafür, wie 005 schon ausgeführt hat.


Ich dachte, das Gegenteil bewiesen zu haben? Für mich sind die Gegenargumente aufgehoben :o
Oder stört es, dass die Reihen divergent sind? Da gilt der Satz nämlich auch.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sina95,

meinst du das hier mit deinem Beweis?

Zitat:





Du benutzt hier Umformungsregeln, die für reelle Zahlen gelten. ist aber keine reelle Zahl, du kannst also nicht irgendwelche Rechenregeln benutzen, die für reelle Zahlen gelten.
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi smile

Ich denke, wir reden aneinander vorbei.
Mir war bewusst, dass dort Umformungen stattfinden, die nicht erlaubt sind. Die Frage war nur, WO GENAU der Haken ist. Dass man als "Arbeitshypothese" davon ausgeht, dass die Reihe konvergiert, müsste ja gehen. Jedoch stellt meiner Meinung nach der Schritt der Subtraktion eine Umordnung dar, weil nicht
gerechnet wird, sondern


Lg
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht solltest Du Dir mal klarmachen, dass eine unendliche Reihe eigentlich ein Ding der Unmoeglichkeit ist. Zur Berechnung der Reihensumme soll man naemlich unendlich viele Summanden addieren. Damit wird man aber nie fertig und folglich erhaelt man auch keine Ergebnis fuer die Summe. Ohne eine Definition dazu, wie man eine Reihensumme effektiv ermitteln kann, haben unendliche Reihen keine Summe und mithin auch wenig Sinn. Die klassische Definition fuer die Reihensumme ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen. Unendliche Reihen, denen man so keine Summe zuordnen kann, haben keine. Wenn man erstmal verstanden hat, dass man hier um einen an sich willkuerlichen Definitionsschritt sowieso nicht herumkommt, dann kann man sich auch andere Summationsmethoden ausdenken. Je nach Summationsmethode kann eine Reihe eine Summe haben oder auch nicht. Und die Summe kann sich auch mit der Methode aendern.

Z.B. ist tatsaechlich

,

wenn man doppelte Cesaro-Summation verwendet.

Welche Rechenregeln man zur Manipulation von Reihen zulaessigerweise verwenden darf, haengt ebenfalls von der zugrundegelegten Summationsmethode ab. Was mit der einen Methode erlaubt ist, ist es bei der anderen u.U. eben nicht. Der Riemannsche Umordnungssatz gilt fuer bedingt konvergente Reihen im klassischen Sinne und keinesfalls allgemein.

Zu Deiner Arbeitshyptohese, man koenne ja mal annehmen, dass die Reihe konvergiert: Das reicht nicht, Du musst Dich auch auf die Summationsmethode festlegen, oder doch wenigstens deren Eigenschaften postulieren. Sonst kannst Du naemlich nicht rechnen. Bsp.:

.

Ich habe Linearitaet und Stabilitaet der Summationsmethode vorausgesetzt. Dann muss zwingend sein. Ob es ueberhaupt eine passende Methode gibt und wie die aussieht, ist eine andere Frage.

Weitere Informationen zu divergenten Reihen gibt's hier: en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series

Ich wuerde Dir aber eher ein solides Analysis-I-Buch empfehlen. Das esoterische Zeugs dann bestenfalls hinterher.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sina 95
Ich dachte, das Gegenteil bewiesen zu haben? Für mich sind die Gegenargumente aufgehoben :o
Oder stört es, dass die Reihen divergent sind? Da gilt der Satz nämlich auch.

Dir scheinen ja wirklich wichtigste Grundlagen der Analysis zu fehlen, und zu allem Überfluss hörst du nicht zu, wenn sie dir hier dann versucht werden zu vermitteln. Also nochmal: Für Reihenkonvergenz im klassischen Sinne (egal ob nur bedingt oder absolut) ist es notwendig, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden - darauf hat 005 hingewiesen und du hast es sogar zitiert. Aber verinnerlicht hast du es anscheinend nicht, denn deine Reihen

oder



erfüllen diese notwendige Voraussetzung erkennbar nicht. Daher ist die obige Riemann-Aussage auf diese Reihen auch nicht anwendbar, denn sie fordert die bedingte Konvergenz der Ausgangsreihe.


Daher schließe ich mich voll und ganz der Empfehlung von 005 an: Mach erstmal deine Hausaufgaben in der klassischen Analysis, bevor du dich dem Ramanujan-Zeugs widmest - und letzteres dann (hoffentlich) nicht in esoterischer, sondern solider Weise.
Sina 95 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, habe verstanden. Ich darf den Satz von Riemann ausschließlich auf die bedingt konvergenten Reihen anwenden(so wie er eben formuliert ist).

Ich bin erstaunt, wie empfindlich reagiert wird, wenn man 2 Gedanken zusammenfassen will, ist so wenig Platz für Intuition in der Mathematik? Oder wurde wirklich nicht verstanden, was ich meine(was ich nicht gedacht hätte)?

Ich kann ja dann einfach meine eigene Vermutung erfinden (vielleicht das tolle an Mathe) :

Jede unendliche Reihe, die ausschließlich nach Cesaro "summierbar" ist, kann so umgeordnet werden, dass die Cesaro-Summe jeden beliebigen Wert der reellen Zahlen annimmt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Mathematik ist ein Satz eine wahre Aussage, die genau so gilt, wie sie formuliert und bewiesen wurde, inklusive aller Voraussetzungen und Folgerungen. Alles andere ist wertloses Geschwätz, deshalb reagieren Mathematiker ziemlich schnell ungehalten, wenn unsere wertvolle Zeit verschwendet wird. Wir brauchen unsere Intuition für wichtigere Dinge.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sina 95
Ich kann ja dann einfach meine eigene Vermutung erfinden (vielleicht das tolle an Mathe) :

Jede unendliche Reihe, die ausschließlich nach Cesaro "summierbar" ist, kann so umgeordnet werden, dass die Cesaro-Summe jeden beliebigen Wert der reellen Zahlen annimmt.


Aber klar, das kannst du gerne tun smile
InteressierterMensch Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu der Summe über alle natürlichen Zahlen
Betrachtet man diese Summe, stösst man auf diesen, ich sage mal gewagt "repräsentativen Wert" -1/12, was ja offensichtlich nicht der tatsächliche ist. Das tatsächliche Ergebnis ist in irgendeiner Form unendlich.

Nun zu meiner Frage: Die natürlichen Zahlen sind bezüglich der Addition ja abgeschlossen, gilt das auch für diese unendliche Summe? Kann man diese Unendlichkeit irgendwie den Natürlichen Zahlen zuordnen bzw. sie als "natürlich" bezeichnen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es die Symbolik suggeriert: Es gibt keine Summen mit unendlich vielen Gliedern.

Es gibt nur solche mit endlichen vielen Gliedern (darauf, und nur darauf bezieht sich dann auch die Abgeschlossenheit der Addition), sogenannte Partialsummen, und im Grenzprozess kommt die Topologie in dem entsprechenden Raum zum Tragen. Man kann daher Reihenwerte nicht ausschließlich aus algebraischer Perspektive betrachten, der topologische Aspekt ist unvermeidlich.
InteressierterMensch Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich richtig verstanden habe, kann man dieser Unendlichkeit also weder eine Zugehörigkeit zu, noch absprechen, weil es einfach nicht konvergiert?

Kann ich denn einen Beweis führen für n gegen unendlich über so eine Summe führen und sagen dass es für jede endliche Summe den Natürlichen Zahlen zuzuordnen ist und für n gegen unendlich diesen repräsentativen Wert -1/12 benutzen um darüber im Grenzfall für natürliche Zahlen etwas zu beweisen, oder verliert an dieser Stelle mein Beweis jegliche Aussagekraft für natürliche Zahlen?

Ich hoffe es ist Ansatzweise verständlich was ich hier sagen will.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von InteressierterMensch
Ich hoffe es ist Ansatzweise verständlich was ich hier sagen will.

Kann ich von meiner Seite her nicht sagen. Allein bei "und für n gegen unendlich diesen repräsentativen Wert -1/12 benutzen" rollen sich mir die Fußnägel hoch.
InteressierterMensch Auf diesen Beitrag antworten »

Naja kann ich verstehen.

Vielleicht sollte ich eher so fragen:
In welchem Zusammenhang ist der Wert "-1/12" für diese Summe überhaupt benutzbar? Wo hat er Aussagekraft? Falls er überhaupt welche hat.

Vielen Dank für deine Geduld trotz Inkompetenz meinerseits. Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von InteressierterMensch
In welchem Zusammenhang ist der Wert "-1/12" für diese Summe überhaupt benutzbar? Wo hat er Aussagekraft?

Dazu hatte ich oben bereits ein paar Links angegeben, z.B. den hier

Warum ist 1+2+3+4+... gleich -1/12 ?

unter dem Stichwort "analytische Fortsetzung der Zetafunktion".
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