Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen |
01.08.2016, 15:11 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ich habe einige Verständnisprobleme was die Konvergenz/Divergenz bzw. den Grenzwert von Folgen und Reihen betrifft. Welche Kriterien gibt es um die Konvergenz von Folgen bzw. den Grenzwert von FOLGEN zu bestimmen? Welche Kriterien gibt es um die Konvergenz von Folgen bzw. den Grenzwert von REIHEN zu bestimmen? Meine Ideen: Ich kenne folgende Begriffe: Leibniz-Kriterium, Majoranten- und Minoratenkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium. Sind das alle? Und was wird wofür gebraucht? |
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01.08.2016, 15:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Es gibt noch das Verdichtungskriterium. Die genannten Kriterien werden für Konvergenzuntersuchungen bei Reihen verwendet. Mit gewissen Zusatzeigenschaften lassen sich Majoranten- und Minoratenkriterium auch zur Anwendung auf Folgen übertragen. Im Prinzip sind Reihen ja auch nur spezielle Folgen. |
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01.08.2016, 19:49 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen [attach]42426[/attach] [attach]42427[/attach] Ich habe hier einige Aufagben. Bei Reihen komme ich ja mit Hilfe des Quotientenkrit., des Wurzelkrit., des Leibniz-Krit. oder des Maj.- bzw. Min.-Krit. aus. Doch was machen ich, wenn einfach nur nach Grenzwerten gefragt ist? |
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01.08.2016, 19:59 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Du meinst, wenn du kein Kochrezept vorliegen hast? Dann benutzt du deinen Verstand, bzw. deine Intuition. Hast du denn bei keiner Aufgabe eine Idee? a) ist einfach. Exponentialfunktionen wachsen schneller als Potenfunktionen, wodurch letztere bedeutungslos werden bei dieser Teilaufgabe b) Geschickt erweitern c) L'Hospital. Danach: sin/x geht gegen 1 für x->0 d) Ist ne simple geometrische Reihe. Bisschen vereinfachen vorher. Knobal mal ein bisschen damit rum. Das übt am besten. Edit: Auf den ersten Screenshot bezogen! Step by step! |
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01.08.2016, 20:16 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Wenn man mir sagt, wie ich es rechnen muss, dann komme ich schon drauf. Die d) hab ich jetzt zum Beispiel geschafft. Aber so aus dem nichts, finde ich es echt schwierig. Zur d): Das ist jetzt meine geom. Reihe. Als Ergbenis kommt heraus. |
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01.08.2016, 20:38 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Bitte daran denken, dass dir das bei deiner Klausur niemand sagen wird. |
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02.08.2016, 08:35 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ich habe jetzt hier noch eine andere Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme: Gesucht ist: Dazu: Wie geht es jetzt weiter? |
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02.08.2016, 08:44 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
kürzen! Und bitte, der Startterm ganz links lautet , die Klammern da sind UNVERZICHTBAR. |
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02.08.2016, 08:49 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen ? |
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02.08.2016, 08:51 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Sorry, jetzt stimmt. Und dann ist der Grenzwert 2. |
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02.08.2016, 08:59 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ich hoffe ich gehe hier niemandem auf de Nerven, aber habe einen Term gefunden, bei dem ich null weiter weiß: Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, dass alle Terme bis auf +4 im Zähler und -5 im Nenner vernachlässigbar werden. Aber kann man das auch umschreiben, sodass man das besser sieht? |
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02.08.2016, 09:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Falls du meinst, würde für mich der Hinweis reichen, daß und gegen Null konvergieren. Das Weitere ergibt sich aus den Grenzwertregeln.
Korrekt. |
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02.08.2016, 09:31 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Vielen Dank mal bis hierhin. Jetzt noch eine letzte (Verständis)Frage: Worin liegt der Unterschied zwischen Reihenwert und Grenzwert. Ich habe hier zwei Beispiele: und Zum Ersten: Wenn ich jetzt hier sage, dass dieser Term unendlich klein wird, warum divergiert dann die Reihe trotzdem? Wie kann ich das generell erkennen? Zum Zweiten: Quotientenkrit. angewendet: Wie geht es von hier jetzt weiter? Und den Grenzwert den ich hierfür herausbekomme, der sagt mir ja nur, ob er größer, kleiner oder gleich 1 ist und dementsprechend, ob die Reihe konvergiert oder divergiert? Oder ist das mein Reihenwert? |
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02.08.2016, 10:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Der Reihenwert ist der Grenzwert einer Reihe.
Da mußt du dich nochmal mit der Divergenz der harmonischen Reihe intensiver beschäftigen.
Es gibt in der Mathematik leider nicht für alles eine generelle Regel oder ein Kochbuch. Bei Reihen wäre eine Merkregel, daß nur für alpha > 1 konvergiert.
Die letzte Gleichung ist falsch und ich kann auch nicht erkennen, was für eine Umformung du machen wolltest. Jedenfalls mußt du prüfen, ob gegen einen Grenzwert kleiner 1 konvergiert. Dann konvergiert auch die Reihe. Den Reihenwert als solchem kann man aus dem Quotientenkriterium nicht ablesen. |
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02.08.2016, 10:19 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Aber hieraus kann ich doch gar nicht sagen gegen was es geht. Das muss man doch noch weiter vereinfachen können?! |
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02.08.2016, 10:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Nun ja, du kannst noch den Faktor (k+1) rauskürzen und dir dann überlegen, ob du nicht schon mal den Grenzwert gesehen hast. |
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02.08.2016, 11:14 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ach okay, da kommt dann als Grenzwert 1/e heraus. Und 1/e < 1, somit konvergiert diese Reihe. Aber wenn ich jetzt den Reihenwert einer Reihe bestimmen muss, dann kann ich diese ganzen Kriterien außen vor lassen und schaue einfach nur, dass ich eine Umformung auf eine bekannte Reihe (harmonische, arithmetische, geometrische, usw.) vornehme? Ist das korrekt? |
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02.08.2016, 11:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Im Prinzip ja, wobei du die arithmetische Reihe außen vor lassen kannst. Ggf. kommen noch Reihen der trigonometrischen oder der e-Funktion in Frage. Die Schwierigkeit ist allerdings, daß es häufig eine derartige Umformung nicht gibt. |
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02.08.2016, 15:36 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Noch eine Reihe Was ist der Grenzwert dieser Reihe, falls sie konvergiert? Was kann ich dabei machen? |
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02.08.2016, 16:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Den Logarithmus im Zähler in eine Differenz von Logarithmen umgewandelt ergibt sich unmittelbar eine Teleskopreihe. |
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02.08.2016, 16:39 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Also Stimmt das? |
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02.08.2016, 16:47 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn du die zwei unverständlicherweise weggelassenen Summensymbole nachrüstest, ja. |
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02.08.2016, 16:54 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ja, die hab ich leider vergessen. Und warum kann ich daraus ablesen, dass die Reihe konvergiert? |
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02.08.2016, 16:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich hatte dir einen Link zu Teleskopsumme bzw. -reihe genannt. Dort stand genau zu lesen, welche Bedingungen für Konvergenz es dann gibt, und wie der Reihenwert lautet. |
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02.08.2016, 17:07 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Sorry ich meinte ich verstehe den letzten Schritt der Umformung nicht, also wie du auf kommst. |
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02.08.2016, 17:14 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hier kann man ja richtig was lernen. Bitte nicht aufhören! |
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02.08.2016, 17:17 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ach ne jetzt hab ich es verstanden: Der erste Teil der Summe geht gegen 0 und beim zweiten Teil setzt man für n=2 ein. Macht es nichts aus, dass in diesem Fall anstatt ? |
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02.08.2016, 17:34 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ansichtssache: Wenn man setzt, dann ist es doch letzteres. |
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03.08.2016, 15:06 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ich suche nochmal zwei Grenzwerte: und Bei dem ersten hab ich es mit L'H versucht, aber das hat nichts gebracht. Zum Zweiten: Bringt mir das so irgendetwas bzw. wie gehts weiter? |
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03.08.2016, 15:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Das mußt du dann noch zweimal machen.
Ich würde jetzt ein x kürzen. |
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03.08.2016, 15:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oder alternativ nach dem ersten L'H sowie Erweitern mit den hinlänglich bekannten Grenzwert verwenden. |
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03.08.2016, 16:15 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Zu dem Ersten: Mit Dreimal L'H hab ich es hinbekommen. Zu dem Zweiten: da hab ich doch ne Summe! Wie kann ich da kürzen? |
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03.08.2016, 19:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es ist natürlich so gemeint, dass du vorher das aus der Summe ausklammerst (solche Selbstverständlichkeiten sollte man zumindest im Hochschulforum nicht extra erwähnen müssen...), und das jeweils in Zähler wie Nenner. |
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03.08.2016, 20:11 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ja selbstverständlich! Auf jeden Fall danke für die Hilfe! Warum ist der Grenzwert dieses Terms denn eigentlich 0? geht gegen 1, aber was ist mit dem Rest im Zähler, warum geht der gegen 0? |
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03.08.2016, 20:15 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist falsch. |
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05.08.2016, 15:22 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ich habe noch ein paar Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme: 1. Der Kosinus nimmt doch wenn er gegen unendlich geht immer Werte zwischen +1 und -1 an. Heißt das dann, dass er divergiert? 2. Hier soll man sagen, ob diese Reihe konvergiert und wenn ja, ob sie absolut konvergiert. Ich komme hier werder mit dem Wurzel- noch mit dem Quotientenkriterium zu einer Aussage 3. Meine Idee war folgende: absolute Konvergenz! Kann man das so machen? 4. Hier weiß ich nicht wie ich die Divergenz zeigen soll. Und last but not least 5. Man kann doch beide Brüche auf den selben Nenner bringen: Rauskommen müsste aber 0,5. Also geht das so wohl nicht! |
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05.08.2016, 16:10 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Ich werf mal einige Stichworte ein, im Detail können andere Helfer auch gern beitragen: Zu 2.: Prüfe zunächst das notwendige Kriterium für Konvergenz. Zu 3.: Sowohl für einfache Konvergenz als auch für absolute Konvergenz würde ich den Sinus per Einschließungssatz eliminieren und dann mit bekannten konvergenten Reihen vergleichen. Zu 4.: Betrachte genauer für ganzzahlige n und verwende das Leibnizkriterium. Zu 5.: Läßt sich mit 2-maliger Anwendung von L'Hospital berechnen. |
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05.08.2016, 19:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Fast, sofern du den Term geeignet korrigierst. |
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05.08.2016, 19:20 | ThomasBerlin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen Meinst du noch kürzen oder war die Abschätzung falsch? |
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05.08.2016, 20:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Abschätzung ist zwar richtig, aber nicht ausreichend: ist divergent. Ich meine einfach die für alle reellen gültige Abschätzung . |
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