Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen

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ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Meine Frage:
Ich habe einige Verständnisprobleme was die Konvergenz/Divergenz bzw. den Grenzwert von Folgen und Reihen betrifft.
Welche Kriterien gibt es um die Konvergenz von Folgen bzw. den Grenzwert von FOLGEN zu bestimmen?
Welche Kriterien gibt es um die Konvergenz von Folgen bzw. den Grenzwert von REIHEN zu bestimmen?

Meine Ideen:
Ich kenne folgende Begriffe: Leibniz-Kriterium, Majoranten- und Minoratenkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium.
Sind das alle? Und was wird wofür gebraucht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Es gibt noch das Verdichtungskriterium. Die genannten Kriterien werden für Konvergenzuntersuchungen bei Reihen verwendet.

Mit gewissen Zusatzeigenschaften lassen sich Majoranten- und Minoratenkriterium auch zur Anwendung auf Folgen übertragen. Im Prinzip sind Reihen ja auch nur spezielle Folgen. smile
 
 
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
[attach]42426[/attach]
[attach]42427[/attach]

Ich habe hier einige Aufagben. Bei Reihen komme ich ja mit Hilfe des Quotientenkrit., des Wurzelkrit., des Leibniz-Krit. oder des Maj.- bzw. Min.-Krit. aus. Doch was machen ich, wenn einfach nur nach Grenzwerten gefragt ist?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Zitat:
Original von ThomasBerlin
Doch was machen ich, wenn einfach nur nach Grenzwerten gefragt ist?

Du meinst, wenn du kein Kochrezept vorliegen hast? Dann benutzt du deinen Verstand, bzw. deine Intuition. Hast du denn bei keiner Aufgabe eine Idee?

a) ist einfach. Exponentialfunktionen wachsen schneller als Potenfunktionen, wodurch letztere bedeutungslos werden bei dieser Teilaufgabe

b) Geschickt erweitern

c) L'Hospital. Danach: sin/x geht gegen 1 für x->0

d) Ist ne simple geometrische Reihe. Bisschen vereinfachen vorher.

Knobal mal ein bisschen damit rum. Das übt am besten.

Edit: Auf den ersten Screenshot bezogen! Step by step!
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Wenn man mir sagt, wie ich es rechnen muss, dann komme ich schon drauf. Die d) hab ich jetzt zum Beispiel geschafft. Aber so aus dem nichts, finde ich es echt schwierig.

Zur d):



Das ist jetzt meine geom. Reihe. Als Ergbenis kommt heraus.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Zitat:
Original von ThomasBerlin
Wenn man mir sagt, wie ich es rechnen muss, dann komme ich schon drauf.

Bitte daran denken, dass dir das bei deiner Klausur niemand sagen wird.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ich habe jetzt hier noch eine andere Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme:
Gesucht ist:


Dazu:


Wie geht es jetzt weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

kürzen!


Und bitte, der Startterm ganz links lautet , die Klammern da sind UNVERZICHTBAR.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen

?
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen


Sorry, jetzt stimmt. Und dann ist der Grenzwert 2.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ich hoffe ich gehe hier niemandem auf de Nerven, aber habe einen Term gefunden, bei dem ich null weiter weiß:


Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, dass alle Terme bis auf +4 im Zähler und -5 im Nenner vernachlässigbar werden. Aber kann man das auch umschreiben, sodass man das besser sieht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Falls du meinst, würde für mich der Hinweis reichen, daß und gegen Null konvergieren.

Das Weitere ergibt sich aus den Grenzwertregeln.

Zitat:
Original von ThomasBerlin


Sorry, jetzt stimmt. Und dann ist der Grenzwert 2.

Korrekt. smile
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Vielen Dank mal bis hierhin.

Jetzt noch eine letzte (Verständis)Frage:

Worin liegt der Unterschied zwischen Reihenwert und Grenzwert.

Ich habe hier zwei Beispiele:



und



Zum Ersten:

Wenn ich jetzt hier sage, dass dieser Term unendlich klein wird, warum divergiert dann die Reihe trotzdem? Wie kann ich das generell erkennen?

Zum Zweiten:
Quotientenkrit. angewendet:

Wie geht es von hier jetzt weiter? Und den Grenzwert den ich hierfür herausbekomme, der sagt mir ja nur, ob er größer, kleiner oder gleich 1 ist und dementsprechend, ob die Reihe konvergiert oder divergiert? Oder ist das mein Reihenwert?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Zitat:
Original von ThomasBerlin
Worin liegt der Unterschied zwischen Reihenwert und Grenzwert.

Der Reihenwert ist der Grenzwert einer Reihe. Augenzwinkern

Zitat:
Original von ThomasBerlin
Zum Ersten:

Wenn ich jetzt hier sage, dass dieser Term unendlich klein wird, warum divergiert dann die Reihe trotzdem?

Da mußt du dich nochmal mit der Divergenz der harmonischen Reihe intensiver beschäftigen.

Zitat:
Original von ThomasBerlin
Wie kann ich das generell erkennen?

Es gibt in der Mathematik leider nicht für alles eine generelle Regel oder ein Kochbuch.

Bei Reihen wäre eine Merkregel, daß nur für alpha > 1 konvergiert. smile

Zitat:
Original von ThomasBerlin
Zum Zweiten:
Quotientenkrit. angewendet:

Die letzte Gleichung ist falsch und ich kann auch nicht erkennen, was für eine Umformung du machen wolltest. Jedenfalls mußt du prüfen, ob gegen einen Grenzwert kleiner 1 konvergiert. Dann konvergiert auch die Reihe. Den Reihenwert als solchem kann man aus dem Quotientenkriterium nicht ablesen.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Aber hieraus

kann ich doch gar nicht sagen gegen was es geht. Das muss man doch noch weiter vereinfachen können?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Nun ja, du kannst noch den Faktor (k+1) rauskürzen und dir dann überlegen, ob du nicht schon mal den Grenzwert gesehen hast. smile
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ach okay, da kommt dann als Grenzwert 1/e heraus. Und 1/e < 1, somit konvergiert diese Reihe.

Aber wenn ich jetzt den Reihenwert einer Reihe bestimmen muss, dann kann ich diese ganzen Kriterien außen vor lassen und schaue einfach nur, dass ich eine Umformung auf eine bekannte Reihe (harmonische, arithmetische, geometrische, usw.) vornehme? Ist das korrekt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Im Prinzip ja, wobei du die arithmetische Reihe außen vor lassen kannst. Ggf. kommen noch Reihen der trigonometrischen oder der e-Funktion in Frage.
Die Schwierigkeit ist allerdings, daß es häufig eine derartige Umformung nicht gibt.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Noch eine Reihe Big Laugh



Was ist der Grenzwert dieser Reihe, falls sie konvergiert?

Was kann ich dabei machen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Logarithmus im Zähler in eine Differenz von Logarithmen umgewandelt ergibt sich unmittelbar eine Teleskopreihe. Big Laugh
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Also


Stimmt das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die zwei unverständlicherweise weggelassenen Summensymbole nachrüstest, ja.

ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ja, die hab ich leider vergessen.

Und warum kann ich daraus ablesen, dass die Reihe konvergiert?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte dir einen Link zu Teleskopsumme bzw. -reihe genannt. Dort stand genau zu lesen, welche Bedingungen für Konvergenz es dann gibt, und wie der Reihenwert lautet.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Sorry ich meinte ich verstehe den letzten Schritt der Umformung nicht, also wie du auf
kommst.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Hier kann man ja richtig was lernen.
Bitte nicht aufhören! smile
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ach ne jetzt hab ich es verstanden:
Der erste Teil der Summe geht gegen 0 und beim zweiten Teil setzt man für n=2 ein. Macht es nichts aus, dass in diesem Fall anstatt ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ThomasBerlin
Macht es nichts aus, dass in diesem Fall anstatt ?

Ansichtssache: Wenn man setzt, dann ist es doch letzteres. Augenzwinkern
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ich suche nochmal zwei Grenzwerte:



und



Bei dem ersten hab ich es mit L'H versucht, aber das hat nichts gebracht.

Zum Zweiten:


Bringt mir das so irgendetwas bzw. wie gehts weiter?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Zitat:
Original von ThomasBerlin
Bei dem ersten hab ich es mit L'H versucht, aber das hat nichts gebracht.

Das mußt du dann noch zweimal machen. smile

Zitat:
Original von ThomasBerlin
Zum Zweiten:


Bringt mir das so irgendetwas bzw. wie gehts weiter?

Ich würde jetzt ein x kürzen. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von ThomasBerlin
Bei dem ersten hab ich es mit L'H versucht, aber das hat nichts gebracht.

Das mußt du dann noch zweimal machen. smile

Oder alternativ nach dem ersten L'H sowie Erweitern mit den hinlänglich bekannten Grenzwert verwenden. Augenzwinkern
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Zu dem Ersten:
Mit Dreimal L'H hab ich es hinbekommen.

Zu dem Zweiten:
da hab ich doch ne Summe! Wie kann ich da kürzen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ThomasBerlin
da hab ich doch ne Summe! Wie kann ich da kürzen?

Es ist natürlich so gemeint, dass du vorher das aus der Summe ausklammerst (solche Selbstverständlichkeiten sollte man zumindest im Hochschulforum nicht extra erwähnen müssen...), und das jeweils in Zähler wie Nenner.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ja selbstverständlich! Auf jeden Fall danke für die Hilfe!



Warum ist der Grenzwert dieses Terms denn eigentlich 0?
geht gegen 1, aber was ist mit dem Rest im Zähler, warum geht der gegen 0?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
geht gegen 1


Das ist falsch.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ich habe noch ein paar Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme:

1.
Der Kosinus nimmt doch wenn er gegen unendlich geht immer Werte zwischen +1 und -1 an. Heißt das dann, dass er divergiert?

2.
Hier soll man sagen, ob diese Reihe konvergiert und wenn ja, ob sie absolut konvergiert. Ich komme hier werder mit dem Wurzel- noch mit dem Quotientenkriterium zu einer Aussage verwirrt

3.
Meine Idee war folgende: absolute Konvergenz!
Kann man das so machen?

4.
Hier weiß ich nicht wie ich die Divergenz zeigen soll.

Und last but not least
5.
Man kann doch beide Brüche auf den selben Nenner bringen:

Rauskommen müsste aber 0,5. Also geht das so wohl nicht!
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Ich werf mal einige Stichworte ein, im Detail können andere Helfer auch gern beitragen:

Zu 2.: Prüfe zunächst das notwendige Kriterium für Konvergenz.

Zu 3.: Sowohl für einfache Konvergenz als auch für absolute Konvergenz würde ich den Sinus per Einschließungssatz eliminieren und dann mit bekannten konvergenten Reihen vergleichen.

Zu 4.: Betrachte genauer für ganzzahlige n und verwende das Leibnizkriterium.

Zu 5.: Läßt sich mit 2-maliger Anwendung von L'Hospital berechnen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ThomasBerlin
Meine Idee war folgende: absolute Konvergenz!
Kann man das so machen?

Fast, sofern du den Term geeignet korrigierst.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert von Folgen/Reihen
Meinst du noch kürzen oder war die Abschätzung falsch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abschätzung ist zwar richtig, aber nicht ausreichend: ist divergent. unglücklich

Ich meine einfach die für alle reellen gültige Abschätzung .
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