Benötige Feedback zu einer Lösung (Kombinatorik)
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02.08.2016, 10:30 The Big Lebowski Auf diesen Beitrag antworten »
Benötige Feedback zu einer Lösung (Kombinatorik)
Angabe (sinngemäß):
"Geg. die Zufallsvariable X = Augensumme nach dreimaligen Würfeln. Berücksichtigt man die Reihenfolge in der geworfen wird nicht, dann gibt es für X=11 und X=12 gleich viele Möglichkeiten diese Augensumme zu erreichen. Trotzdem ist P(X=11) > P(X=12). Wie lässt sich das erklären? Berechne die Wahrscheinlichkeiten"

Meine Lösung:

Zu behaupten P(X=11) = P(X=12) bloß weil für beide das Verhältnis güntstigeFälle/möglicheFälle gleich ist, ist nur gültig, wenn es sich um einen LaPlace-Versuch handelt, also alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich sind. Dies ist hier aber nicht der Fall

Anders argumentiert:

Sein X1, X2, X3 die Augenzahlen bei den drei Würfen.
somit X = X1+X2+X3
Es gilt: E(X1) = E(X2) = E(X3) = 3,5
==> E(X) = E(X1)+E(X2)+E(X3) = 3*3,5 = 10,5
11 liegt somit näher an E(X) als 12 und ist somit wahrscheinlicher als 11

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:

Berücksichtigt man die Reihenfolge in der geworfen wird nicht, dann ergeben sich 28 mögliche Versuchsausgänge.

davon für X=11:
641 632 551 542 533 443

für X=12:
651 642 633 552 543 444

Berücksichtigt man die Reihenfolge, dann gibt 6^3 = 216 Möglichkeiten.
Zu jedem Tripel aus 3 verschiedenen Zahlen gibt es 6 mögliche Anordnungen, und zu jedem Tripel in dem eine Zahl genau doppelt vorkommt 3 mögliche Anordnungen.

Für X=11 gibt es somit 3*6 + 3*3 = 27 von 216 Möglichkeiten
Für X=12 gibt es 3*6 + 2*3 + 1 = 25 von 216 Möglichkeiten
Nun handelt es sich um einen LaPlace-Versuch, da jeder der 216 Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich ist.
Somit ist
P(X=11) = 27/216
P(X=12) = 25/216

Danke schon einmal für’s Feedback!
02.08.2016, 11:01 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von The Big Lebowski
11 liegt somit näher an E(X) als 12 und ist somit wahrscheinlicher als 11

Das ist eine gefährliche Argumentation: Für unimodale symmetrische Verteilungen mag das zwar zutreffen, aber dann musst du auch schlüssig begründen, dass eine solche hier vorliegt. "Ist doch klar" reicht da nicht. Augenzwinkern

Zitat:
Original von The Big Lebowski
Berücksichtigt man die Reihenfolge, dann gibt 6^3 = 216 Möglichkeiten.
Zu jedem Tripel aus 3 verschiedenen Zahlen gibt es 6 mögliche Anordnungen, und zu jedem Tripel in dem eine Zahl genau doppelt vorkommt 3 mögliche Anordnungen.

Für X=11 gibt es somit 3*6 + 3*3 = 27 von 216 Möglichkeiten
Für X=12 gibt es 3*6 + 2*3 + 1 = 25 von 216 Möglichkeiten
Nun handelt es sich um einen LaPlace-Versuch, da jeder der 216 Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich ist.
Somit ist
P(X=11) = 27/216
P(X=12) = 25/216

Ja, so kann man es machen. Ein einfaches Berechnungsschema, die Gesamtverteilung der Augensumme von n Würfen zu bestimmen, findest du hier.
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