ZPE Ring

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Freak123456 Auf diesen Beitrag antworten »
ZPE Ring
Meine Frage:
Ich stehe gerade auf dem Schlauch:
R bzw. R[x] ist faktoriell (=ZPE-Ring), wenn jedes von Null verschiedene und nicht invertierbare Element von R Produkt von irreduziblen Elementen ist und diese Faktoren bis auf die Reihenfolge und bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt sind.
Aber kann ich nicht jedes von 0 verschiedene Polynom mit positivem Grad als Produkt (bis auf Assoziiertheit) eindeutig bestimmter normierter, irreduzibler Faktoren schreiben? Also nicht nur jene Polynome, die nicht invertierbar sind?

Meine Ideen:
Möglicherweise gilt "faktoriell" nur für Ringe (Wie der Name ZPE-Ring schon sagt) und die Zerlegung jedes Polynoms mit positivem Grad in eindeutig bestimmte irreduzible Faktoren nur für Polynome mit Koeffizienten in einem Körper. Da stellt sich mir aber folgende Frage:
Jeder Körper ist faktoriell. Aber jedes Element in einem Körper ist invertierbar. Und die Definition für faktoriell besagt: "Jedes nicht invertierbare Element [...] kann eindeutig als Produkt irreduzibler Elemente geschrieben werden". Laut dieser Definition dürfte kein Element aus einem Körper eindeutig als Produkt von irreduziblen Elemente geschrieben werden.
Wo liegt mein Denkfehler? Kann mit bitte jemand das Konstrukt und das Prinzip "ZPE-Ring" einfach erklären und mir meine Fragen beantworten?
Danke!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

zum Beispiel ist faktoriell, weil jede ganze Zahl eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Primzahlzerlegung hat .
Nicht jeder Ring ist faktoriell, zum Beispiel im allgemeinen die Ordnungen in algebraischen Zahlkörpern. Und darüber sind dann auch die Polynomringe nicht faktoriell.
Wie du siehst, ist jeder Körper trivialerweise faktoriell (und dann auch Polynomringe über Körpern).
Freak123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt dann die Definition "R bzw. R[x] ist faktoriell (=ZPE-Ring), wenn jedes von Null verschiedene und nicht invertierbare Element von R Produkt von irreduziblen Elementen ist und diese Faktoren bis auf die Reihenfolge und bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt sind." nur für Ringe? Denn dann dürfte ja kein Körper faktoriell sein, weil jedes Element in einem Körper invertierbar ist und laut Definition die eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren nur für nicht invertierbre Elemente ungleich 0 gilt. Wird bei Körpern die Bedingung "Nicht invertierbar" einfach weggelassen oder durch etwas anderes ersetzt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Körper sind trivialerweise faktoriell, weil jedes Element Null oder invertierbar ist. Die Menge der von Null und invertierbaren Elementen verschiedenen Elemente in Körpern ist leer. Die leere Menge hat alle gewünschten Eigenschaften, denn für alle ihre Elemente gilt, was immer man möchte. Das garantiert auch, dass Polynomringe über Körpern faktoriell sind.
Ringe sind faktoriell, wenn jedes von Null verschiedene und nicht invertierbare Element eindeutig in irreduzble Faktoren zerfällt. In ganzen rationalen Zahlen z.B. kann man die beiden Einheiten +1 und -1 auch nicht in Primzahlen zerlegen, anders gesagt ist das Produkt der Primzahlen das leere Produkt .
Freak123456 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank! smile Also "spanne" ich sozusagen die faktorielle leere Menge der Nicht-Null-Elemente und der Nicht-Invertierbaren-Elemente über den Körper und mache damit geltend, dass auch der Körper faktoriell ist oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ja Big Laugh
 
 
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