Binomialverteilung(?) - für Jedi-Meister

04.08.2016, 11:40

The Big Lebowski

Binomialverteilung(?) - für Jedi-Meister

Hier eine Aufgabe für die Mathe-Jedis.

"Ein Journalist schätzt, dass ca. jede zwanzigste auf seinem Computer gespeicherte Textdatei trotz Verwendung eines Korrekturprogramms noch Rechtschreibfehler enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 10 Textdateien mindestens eine Datei mehr(!) als einen Fehler aufweist"

(hab die Aufgabe bereits bei der 'OnlineMathe' gepostet, da is aber nix herausgekommen)

Wenn das mit dem "mehr als einen Fehler" nicht wäre, dann wäre es einfach:
Bin.-verteilt mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{20} \end{eqnarray*}$ u. $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ .
Aber so ..... man müsste also lediglich aus der Wahrscheinlichkeit, dass eine Datei Fehler aufweist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Fehler in einer Datei ableiten. Ich sehe mich dazu nicht imstande.

04.08.2016, 11:51

HAL 9000

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Die Sache ist einigermaßen nebulös, da keine Angaben zum Modell der Fehleranzahlverteilung in den Textfiles gemacht werden. Basierend auf einem ähnlichen Modell wie hier mit Fehlerwahrscheinlichkeit $\begin{align*} p_S \end{align*}$ pro Seite und $\begin{align*} n \end{align*}$ Seiten bekommt man für die Fehleranzahl pro Dokument die Verteilung $\begin{align*} B(n,p_S) \end{align*}$ . Für große $\begin{align*} n \end{align*}$ und kleine $\begin{align*} p_S \end{align*}$ entspricht das näherungsweise der Poissonverteilung $\begin{align*} \operatorname{Poisson}(n\cdot p_S) \end{align*}$ . Und die ist es auch, mit der ich hier dann mangels anderer Vorgaben rechnen würde:

D.h., wir nehmen an, dass die Fehleranzahl pro Datei poissonverteilt $\begin{align*} X\sim \operatorname{Poisson}(\mu) \end{align*}$ ist. Was wissen wir über $\begin{align*} \mu \end{align*}$ ? Nun, wir haben die Angabe $\begin{align*} P(X\geq 1) = \frac{1}{20} \end{align*}$ , aus der können wir erstmal $\begin{align*} \mu \end{align*}$ bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den nächsten 10 Dateien mindestens eine Datei mit mehr als einem Fehler ist, ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu "die nächsten 10 Dateien enthalten alle maximal einen Fehler", also $\begin{align*} 1-\left( P(X\leq 1) \right)^{10} \end{align*}$ . Augenzwinkern

04.08.2016, 21:46

The Big Lebowski

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Poissonverteilung( verwirrt

) .... ja, mag sein. Das ist aber nicht Teil des Stoffs der Schulstufe, zu welcher dieses Beispiel gehört und auch nicht zu der darauffolgenden (das hab ich eruiert).

Du bist hier auf dem Board sehr engagiert. Mein Dank und mein Respekt an der Stelle. Umso schlechter ist jedoch mein Gewissen, wenn Du Zeit und Mühe für eine Lösung aufbringst, bei welcher eine nähere Auseinandersetzung für mich nicht sehr ökonomisch ist, da sie auf Konzepten basiert, welche von möglichen Prüfungs-/Klausur/-Hausübungsbeispielen nicht tangiert werden. Ich werde in Zukunft genau angeben in welchem Kontext ein Beispiel auftritt und was zu diesem Themenbereich in vorausgehenden Schulstufen durchgemacht wurde. Der Dude will Dir nicht deine Zeit stehlen, sondern lediglich seinen Teppich zurück Augenzwinkern

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Sache ist einigermaßen nebulös, da keine Angaben zum Modell der Fehleranzahlverteilung in den Textfiles gemacht werden.

Dem stimme ich zu. Ich habe die Aufgabe heute auch zwei Kollegen vorgelegt, die recht sattelfest in Statistik sind und keiner von diesen beiden hat einen Lösungsansatz gefunden. Ich hake das Beispiel damit ab. Entweder ist die Angabe fehlerhaft, oder die Aufgabe ist nicht repräsentativ für das was bei Prüfungen/Klausuren/etc. verlangt wird.

04.08.2016, 21:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von The Big Lebowski
Das ist aber nicht Teil des Stoffs der Schulstufe, zu welcher dieses Beispiel gehört und auch nicht zu der darauffolgenden (das hab ich eruiert).

Hab ich heute irgendwie schon mal gehört, diese Jammerei. Vielleicht änderst du ja deine Meinung noch, wäre nicht das erste Mal. unglücklich

Zitat:

Original von The Big Lebowski
Der Dude will Dir nicht deine Zeit stehlen, sondern lediglich seinen Teppich zurück Augenzwinkern

Für mich sieht es momentan eher so aus, als pinkelt der Dude gerne auf die Teppiche, die ihm andere kostenlos zur Verfügung stellen.

05.08.2016, 01:57

The Big Lebowski

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Zitat:

Original von HAL 9000
Hab ich heute irgendwie schon mal gehört, diese Jammerei. Vielleicht änderst du ja deine Meinung noch, wäre nicht das erste Mal. unglücklich

Falls Du damit meinst, dass es ignorant ist, wenn ich Lösungen, die den Schulstoff nicht tangieren tendenziell eher weniger Zeit widme, dann muss ich das aufs schärfste zurückweisen. Ich interessiere mich sehr wohl für Mathematik, drücke dieses Interesse halt damit aus, dass ich mich genauer mit dem Schulstoff beschäftige, anstatt mit Aspekten, die den Schulstoff nicht tangieren. Letztendlich muss ich meinen Fokus auf die Vorbereitung auf Tests/Klausuren/Hausübungen richten, mein Tag hat schließlich auch nur 24 Stunden. Mag sein, dass meine Argumentation falsch ist, aber ich bin davon überzeugt, dass wer auch immer bei der Konzeption dieses Forums die Unterteilung in "Schulmathematik" und "Hochschulmathematik" vorgenommen hat, dabei bedacht hat, dass sich Schüler mit Mathematik beschäftigen MÜSSEN, Hochschüler sich mit Mathematik beschäftigen WOLLEN.

Zitat:

Original von HAL 9000
Für mich sieht es momentan eher so aus, als pinkelt der Dude gerne auf die Teppiche, die ihm andere kostenlos zur Verfügung stellen.

Wieso diese Polemik? Was soll das bringen? Und wieso der Plural (Teppiche), wo doch jenes Post in dem Thema zur Aufgabe mit den Zugwagons (darf leider keine Links posten), das einzig mal war, dass ich die unentgeltliche Hilfe, die mir in diesem Forum zu Teil wird nicht ausreichend gewürdigt habe.

05.08.2016, 08:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von The Big Lebowski
dass wer auch immer bei der Konzeption dieses Forums die Unterteilung in "Schulmathematik" und "Hochschulmathematik" vorgenommen hat, dabei bedacht hat, dass sich Schüler mit Mathematik beschäftigen MÜSSEN, Hochschüler sich mit Mathematik beschäftigen WOLLEN.

Schön wär's, wenn letzteres stimmen würde. Nein, in beiden Gruppen macht die überwiegende Mehrheit "Dienst nach Vorschrift". Und in beiden Gruppen gibt es die, die WOLLEN und zielorientierte Hinweise annehmen, auch wenn sie (noch) nicht gerade vorher in Unterricht/Vorlesung durchgesprochen wurden.

05.08.2016, 09:55

The Big Lebowski

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Noch eine letzte Anmerkung von mir, bevor das Thema zu sehr offtopic wird:

Zitat:

Original von HAL 9000
in beiden Gruppen (Anm.: "Schulmathematik" und "Hochschulmathematik") gibt es die, die WOLLEN und zielorientierte Hinweise annehmen, auch wenn sie (noch) nicht gerade vorher in Unterricht/Vorlesung durchgesprochen wurden.

Demzufolge ist es notwendige Bedingung, dass man bei einem Schüler von WOLLEN sprechen kann, wenn dieser zielorientierte Hinweise annimmt, auch wenn sie (noch) nicht gerade vorher im Unterricht durchgesprochen wurden. Das sehe ich nicht so. Bei einem Schüler ist es IMHO ausreichende Bedingung um von WOLLEN zu sprechen, wenn dieser vor dem posten ausreichend Mühe und Zeit für einen eigenständigen Lösungsversuch aufgebracht hat (was auch eine entsprechende Auseinandersetzung mit dem Stoff selbst impliziert) und diesen Lösungsversuch detailiert und nachvollziehbar dokumentiert (was die Verwendung von LaTex, bei Formeln, bei denen Reintext zu unlesbaren Ausdrücken führt impliziert). Abgesehen davon, wie soll man als Schüler wissen, ob ein Konzept, auf dem ein zielorientierter Hinweis basiert zukünftiger Schulstoff sein wird?

Also, nichts für ungut und schönes Wochenende.

lg

05.08.2016, 11:46

HAL 9000

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Ich komme mal lieber zurück zum Thema, vielleicht interessiert es ja auch andere, die hier später mal vorbeischauen:

Bei annähernd gleicher Größe aller Files und homogener Fehlerverteilung über diese Files ist die Poissonverteilung die zwangsläufige Modellwahl für die Fehleranzahlverteilung pro File (vgl. Poisson-Prozess).

Den Faden der obigen Rechnung wieder aufgenommen ergibt sich aus $\begin{align*} X\sim \operatorname{Poisson}(\mu) \end{align*}$ dann $\begin{align*} P(X\geq 1) = 1-P(X=0) = 1-e^{-\mu}=\frac{1}{20} \end{align*}$ , also $\begin{align*} \mu = -\ln(0.95) \end{align*}$ . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Datei mit mehr als einem Fehler unter den nächsten 10 Files ist dann

$\begin{align*} 1-\left( P(X\leq 1) \right)^{10} = 1-\left( P(X=0) + P(X=1) \right)^{10} = 1-\left( (1+\mu)e^{-\mu} \right)^{10} = 1-\left( (1-\ln(0.95))\cdot 0.95 \right)^{10} \approx 0.0126 \end{align*}$ ,

also ungefähr 1.26%.

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