Produktraum, diskrete WS-Räume

04.08.2016, 12:38

StrunzMagi

Produktraum, diskrete WS-Räume

Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega_1, P_1), (\Omega_2, P_2) \end{eqnarray*}$ diskrete WS-Räume und $\begin{eqnarray*} \Omega=\Omega_1 \times \Omega_2= \{ (w_1, w_2): w_1 \in \Omega_1, w_2 \in \Omega_2\} \end{eqnarray*}$
Wir definieren $\begin{eqnarray*} P((w_1,w_2)):=P_1(w_1)*P_2(w_2) \end{eqnarray*}$
Warum ist dann $\begin{eqnarray*} P(A_1 \times A_2)= \sum_{(w_1, w_2) \in A_1 \times A_2} P((w_1, w_2)) \end{eqnarray*}$
Ist das nicht die Adiditionsregel? Die darf ich doch noch gar nicht anwenden, wenn ich nicht weiß, ob es sich wirklich um eine Ws handelt. Oder ist das eine andere kombinatorische Regel, aber da wäre doch die Summe innerhalb P?

LG,
MaGi

04.08.2016, 13:01

HAL 9000

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RE: Produktraum, diskrete WS-Räume
Wenn es um das Produktmaß geht, dann wird das normalerweise ja auch anders gehandhabt: Man definiert eine Mengenfunktion

$\begin{align*} P(A_1\times A_2) := P_1(A_1)\cdot P_2(A_2) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} A_1\subset \Omega_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} A_2\subset \Omega_2 \end{align*}$

und dann...

Die bloße Definition $\begin{align*} P(\{(w_1,w_2)\}) := P_1(\{w_1\})\cdot P_2(\{w_2\}) \end{align*}$ ohne weitere Infos zu $\begin{align*} P \end{align*}$ (wie eben Additivität) ist schlicht unzureichend, um etwas über allgemeine $\begin{align*} P(A_1\times A_2) \end{align*}$ auszusagen. Bist du sicher, dass du an der Stelle alles detailgetreu wiedergegeben hast? unglücklich

04.08.2016, 13:15

StrunzMagi

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Schwer zu sagen, da es kein Skript gibt.

Wird nich in den folgenden verlinkten Beiträge auch nur die Definition gegeben?
https://www.wias-berlin.de/people/koenig/www/WTSkript.pdf S.23
ODER
http://wwwmath.uni-muenster.de/statistik.../stochastik.pdf S.17
ODER:
https://books.google.at/books?id=RaHyBQA...uktraum&f=false S.47

04.08.2016, 13:29

HAL 9000

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Ich schaue mir jetzt nicht alle deine Links an, zumal sie irrelevant zu sein scheinen: Im ersten auf S.23 wird auf ein bereits vorhandenes W-Maß $\begin{align*} P \end{align*}$ Bezug genommen - du hier definierst erst ein $\begin{align*} P \end{align*}$ , von dem wir noch nicht wissen, dass es ein W-Maß ist.

Also mal nicht ablenken - es geht konkret um die Rahmenbedingungen deines Problems. Forum Kloppe

04.08.2016, 15:57

StrunzMagi

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Ich verstehe leider nicht was du meinst, denn hier wird P doch auch nur so definiert?
..Auf der Produktmenge $\begin{eqnarray*} \Omega=\Omega_1 \times.. \times \Omega_n \end{eqnarray*}$ definieren wir $\begin{eqnarray*} p:\Omega \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p((w_1,..,w_n))=\prod_{i=1}^n p_i (\omega_i) \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe demnach nicht was in den verlinken Beiträgen mehr verlangt wird?

Konkret haben wir in der Vorlesungsnotizen stehen:
$\begin{eqnarray*} \Omega= \Omega_1 \times \Omega_2 \end{eqnarray*}$ Produktraum (z.B. $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ Würfel werfen und $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ Münze werfen)
Es ist definiert $\begin{eqnarray*} P(\{\omega_1, \omega_2\}):=P_1(\{\omega_1\})*P(\{\omega_2\}) \end{eqnarray*}$
Dann gilt die Produktformel:
$\begin{eqnarray*} P(A_1 \times A_2)= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{(\omega_1, \omega_2)\in A_1 \times A_2} P((\omega_1, \omega_2))= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{\omega_1 \in A_1} \sum_{\omega_2 \in A_2} P_1 (\omega_1) * P_2(\omega_2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =(\sum_{\omega_1 \in A_1} P(\omega_1)) * (\sum_{\omega_2 \in A_2} P(\omega_2))=P(A_1)*P(A_2) \end{eqnarray*}$
Ich wollte wissen wie sich das erste Gleichheitszeichen begründet!

04.08.2016, 16:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Ich verstehe demnach nicht was in den verlinken Beiträgen mehr verlangt wird?

Aber ja doch: Eben jene Additivität, um die sich doch deine Frage im Eröffnungsbeitrag dreht! Und die erklärt direkt dieses erste Gleichheitszeichen.

04.08.2016, 16:31

StrunzMagi

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Die große Frage die sich mir aber stellt ist aber warum die so definierte Funktion eine Wahrscheinlichkeit ist, also Additivität und $\begin{eqnarray*} P(\Omega)=1 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Das steht doch nirgends, dass die definierte Funktion die Eigenschaften hat.

04.08.2016, 16:48

HAL 9000

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Das ergibt sich aus Definition, Additivität sowie der entsprechenden vorausgesetzten Eigenschaft von $\begin{align*} P_1,P_2 \end{align*}$ . Kurz gesagt: $\begin{align*} 1\cdot 1 = 1 \end{align*}$ . Augenzwinkern

04.08.2016, 17:00

StrunzMagi

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Ich verstehe das leider nicht.
Um die Additivität und Normiertheit der"Produktwahrscheinlichkeit" zu zeigen bräuchte ich schon, dass $\begin{eqnarray*} P(A_1 \times A_2)= \sum_{(w_1, w_2) \in A_1 \times A_2} P((w_1, w_2)) \end{eqnarray*}$ gilt. ALso müsste ich das doch als Definition mit $\begin{eqnarray*} P((w_1,w_2)):=P_1(w_1)*P_2(w_2) \end{eqnarray*}$ angeben. Aber das wird nirgends (verlinkte Skripte) getan?
Mittels dem würde dann folgen $\begin{eqnarray*} P(A_1 \times A_2)=P(A_1)*P(A_2) \end{eqnarray*}$ (siehe vorigen Beitrag) und aus dem sowie der Additivität und Normiertheit von $\begin{eqnarray*} P_1, P_2 \end{eqnarray*}$ könnte ich dann sofort die Additivität und die Normiertheit der "Produktwahrscheinlichkeit" zeigen.

04.08.2016, 17:04

HAL 9000

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Ich sag jetzt erstmal nichts mehr, bis du deine Sachen (also Vorgaben) alle richtig geordnet hast. Wir drehen uns nämlich sonst nur im Kreis.

05.08.2016, 10:17

StrunzMagi

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Ich probier das nochmal:

Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega_1, P_1), (\Omega_2, P_2) \end{eqnarray*}$ diskrete WS-Räume und $\begin{eqnarray*} \Omega=\Omega_1 \times \Omega_2= \{ (w_1, w_2): w_1 \in \Omega_1, w_2 \in \Omega_2\} \end{eqnarray*}$
Definiere $\begin{eqnarray*} P(A_1 \times A_2)=P(A_1)*P(A_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A_1 \subseteq \Omega_1, A_2 \subseteq \Omega_2 \end{eqnarray*}$

Beh.: Das so definierte P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Produktraum.
$\begin{eqnarray*} 0 \le P (\omega) \le 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$
1. $\begin{eqnarray*} P(\Omega)=P(\Omega_1 \times \Omega_2)=P_1(\Omega_1)*P_2(\Omega_2)=1*1=1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} P(A \times B) + P(C \times D)=P_1(A)*P_2(B)+P_1(C)*P_2(D)= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{\omega_1 \in A} P_1(\omega_1) *\sum_{\omega_2 \in B} P_2(\omega_2)+\sum_{\omega_1 \in C} P_1(\omega_1) *\sum_{\omega_2 \in D} P_2(\omega_2) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{(\omega_1, \omega_2) \in A \times B} P_1(\{ \omega_1\})* P_2(\{\omega_2\})+ \sum_{(\omega_1, \omega_2)) \in C \times D} P_1(\{ \omega_1\})* P_2(\{\omega_2\}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\sum_{(\omega_1, \omega_2) \in A \times B \cup C \times D} P((\omega_1, \omega_2))=? \end{eqnarray*}$

ABer für 2 brauche ich, dass $\begin{eqnarray*} P(A \times B \cup C \times D)= \sum_{(w_1, w_2) \in A \times B \cup C \times D } P((w_1, w_2)) \end{eqnarray*}$ gilt und das habe ich nicht gegeben!

05.08.2016, 10:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
ABer für 2 brauche ich, dass $\begin{eqnarray*} P(A \times B \cup C \times D)= \sum_{(w_1, w_2) \in A \times B \cup C \times D } P((w_1, w_2)) \end{eqnarray*}$ gilt und das habe ich nicht gegeben!

Genau das ist das Problem: Du kannst nicht erwarten, dass du eine Mengenfunktion, deren Werte nur auf einer Teilmenge des geplanten Definitionsbereichs (hier $\begin{align*} \wp(\Omega)=\wp(\Omega_1\times \Omega_2) \end{align*}$ ) vorgegeben ist, auf den gesamten Definitionsbereich eindeutig fortsetzen kannst, wenn du KEINERLEI Eigenschaften dazu (wie eben Additivität) zur Verfügung hast!

Und da ist es egal, ob diese Teilmenge nur alle Einermengen $\begin{align*} \{\omega\} = \{(\omega_1,\omega_2)\} \end{align*}$ , oder sogar alle Rechtecke $\begin{align*} A_1\times A_2 \end{align*}$ umfasst - es fehlt schlicht das Handwerkszeug. Nehmen wir wirklich mal nur das als Grundlage:

Zitat:

Original von StrunzMagi
Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega_1, P_1), (\Omega_2, P_2) \end{eqnarray*}$ diskrete WS-Räume und $\begin{eqnarray*} \Omega=\Omega_1 \times \Omega_2= \{ (w_1, w_2): w_1 \in \Omega_1, w_2 \in \Omega_2\} \end{eqnarray*}$
Definiere $\begin{eqnarray*} P(A_1 \times A_2)=P(A_1)*P(A_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A_1 \subseteq \Omega_1, A_2 \subseteq \Omega_2 \end{eqnarray*}$

Beh.: Das so definierte P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Produktraum.

OK, dannn sage ich einfach: Für alle $\begin{align*} A\subset \Omega \end{align*}$ betrachte ich

$\begin{align*} P(A) := \begin{cases} P_1(A_1)\cdot P(A_2) &\;\mbox{falls Mengen $A_1\subset\Omega_1$ und $A_2\subseteq\Omega_2$ existieren mit}\; A=A_1\times A_2\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

Dann erfüllt $\begin{align*} P \end{align*}$ alle deine Voraussetzungen, ist aber (zumindest bei nichttrivialen W-Räumen $\begin{align*} \Omega_1,\Omega_2 \end{align*}$ , d.h. mit jeweils mindestens zwei Elementen) kein W-Maß.

Ich hoffe, das war jetzt verständlich.

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